1. Постройте сечение треугольной пирамиды DABC плоскостью, проходящей через следующие точки: а) B, D и середину M ребра AC; б) B и середины рёбер AD и CD; в) середину K ребра AD и точки L и M, лежащие на продолжениях рёбер AB и AC; г) середины рёбер BC, AD и точку L, лежащую на продолжении ребра AC; д) середины K, L и M рёбер AD, AB и BC; е) A, C и точку пересечения медиан грани ABD; ж) середины рёбер AD, CD и точку L, лежащую на ребре BC, если BL:LC = 1:2; з) K, L и M, лежащие на рёбрах AD, AB и BC соответственно, если AK:KD = BL:LA = BM:MC = 1:2; и) точки пересечения медиан граней ABD, BCD и ABC; к) середины рёбер BC, CD и точку, лежащую на медиане DM грани … [текст обрезан]

Для построения используйте правило: в каждой грани плоскость сечения пересекается с этой гранью по прямой. Проведите прямые через две известные точки одной грани; их пересечения с рёбрами дают новые точки сечения. Затем соедините точки, лежащие на одной грани. Продолжения рёбер учитываются как прямые, но в сечение пирамиды входят только точки на её рёбрах.

1. а) Точки B и D — вершины пирамиды, а M лежит на AC. Сечение — треугольник BDM.
2. б) Обозначим середины AD и CD через P и Q. Сечение — треугольник BPQ.
3. в) Обозначим точку на продолжении AC через N. Проведите KN и найдите её пересечение с CD; проведите KL и найдите пересечение с BD; проведите LM и найдите пересечение с BC. Полученные точки и точки пересечения секущей плоскости с рёбрами соедините по граням. Для однозначного перечня вершин сечения нужно знать, на каких именно продолжениях AB и AC расположены L и M.
4. г) Обозначим середины BC и AD через P и Q. Проведите прямые PL и QL; продолжите их до пересечений с рёбрами граней. В частности, PL пересекает AB, а QL — CD. Точки пересечения, P и Q соедините по граням.
5. д) Пусть K, L, M — середины AD, AB, BC. Обозначьте через N середину AC. Сечение — четырёхугольник KLMN: KL и MN параллельны DB, LM и NK параллельны AC и CD соответственно.
6. е) Пусть G — точка пересечения медиан грани ABD, а P — середина BD. Точки A, C, P лежат в секущей плоскости; сечение — треугольник ACP.
7. ж) Обозначим середины AD и CD через P и Q. Проведите PQ и прямые PL и QL; находите точки пересечения этих прямых с рёбрами граней и соединяйте их по граням. На ребре BC точка L делит его в отношении BL:LC = 1:2.
8. з) Точки заданы отношениями на рёбрах. Для нахождения остальных вершин проведите секущую плоскость через пары заданных точек в общих гранях и отметьте её пересечения с рёбрами. Одних отношений достаточно для построения: K находится на трети AD от A, L — на расстоянии двух третей AB от A, M — на трети BC от B.
9. и) Найдите центры тяжести треугольников ABD, BCD и ABC, проведя в каждой грани любые две медианы. Через полученные три точки проведите плоскость; её пересечения с рёбрами определите по прямым, проведённым в соответствующих гранях.
10. к) Условие обрезано после слов «точку, лежащую на медиане DM грани…». Нельзя определить, какую именно точку на медиане требуется взять. Пришлите продолжение строки, чтобы можно было закончить построение.

Для пунктов в), г), ж), з) и и) точный вид многоугольника сечения зависит от расположения заданных точек; построение выполняется описанным способом пересечений прямых с рёбрами.