1. Постройте сечение треугольной пирамиды DABC плоскостью, проходящей через следующие точки: е) A, C и точку пересечения медиан грани ABD; ж) K, L и M, лежащие на рёбрах AD, AB и BC соответственно, если AK : KD = BL : LA = BM : MC = 1 : 2.

е) Обозначим точку пересечения медиан грани ABD через G. В треугольнике ABD центр тяжести лежит на каждой медиане; в частности, прямая AG пересекает BD в её середине N. Точки A, G и N лежат на искомой плоскости. Поскольку A и C также лежат в этой плоскости, сечение — треугольник ACN.

Построение: проведите медиану из A к BD, отметьте её пересечение N с BD, затем соедините A, C и N.

ж) По отношениям получаем: AK = AD/3, BL = BA/3, BM = BC/3. На грани ABD точки K и L соединены отрезком KL, а на грани ABC точки L и M — отрезком LM. Продолжите KL до пересечения с BD в точке P: так как K и L делят AD и AB в одинаковом отношении от A, KL параллелен DB, поэтому P не возникает как конечная точка пересечения (KL ∥ DB). Следовательно, для построения удобнее найти пересечение плоскости с ребром CD: обозначим его N. Из аффинных отношений следует CN:ND = 1:2. Тогда искомое сечение — четырёхугольник L-M-N-K.

Проведите LM на грани ABC, MN на грани BCD, NK на грани CDA и KL на грани DAB. Здесь N лежит на CD и CN:ND = 1:2.

Ответ: е) △ACN, где N — середина BD; ж) четырёхугольник LMNK, где N ∈ CD и CN:ND = 1:2.