1. Правильные многогранники. 2. Длина апофемы правильной треугольной пирамиды равна k, а высота h. Найдите объем. 3. Построить графики функций: y = -x²+8x-16; y = -1,5(x+2)²+2; y = 0,25x²-7x.

Решение:

1. Правильные многогранники.

Правильные многогранники — это выпуклые многогранники, грани которых являются равными правильными многоугольниками, и в каждой вершине сходятся одинаковое число рёбер.

Их существует пять видов:

• Тетраэдр (4 грани — треугольники)
• Гексаэдр (куб) (6 граней — квадраты)
• Октаэдр (8 граней — треугольники)
• Додекаэдр (12 граней — пятиугольники)
• Икосаэдр (20 граней — треугольники)

2. Объем правильной треугольной пирамиды.

Формула объема пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота.

Основание — правильный треугольник. Пусть сторона основания равна \( a \).

Длина апофемы правильной треугольной пирамиды равна \( k \). Апофема — это высота боковой грани, проведенная из вершины.

В правильной треугольной пирамиде апофема, высота пирамиды \( h \) и радиус вписанной окружности основания \( r \) образуют прямоугольный треугольник. Радиус вписанной окружности правильного треугольника со стороной \( a \) равен \( r = \frac{a}{2 \sqrt{3}} \).

По теореме Пифагора: \( k^2 = h^2 + r^2 \)

\( k^2 = h^2 + \left( \frac{a}{2 \sqrt{3}} \right)^2 \)

\( k^2 = h^2 + \frac{a^2}{12} \)

Из этого соотношения можно выразить \( a^2 \):

\( \frac{a^2}{12} = k^2 - h^2 \)

\( a^2 = 12(k^2 - h^2) \)

Площадь основания правильного треугольника: \( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)

Подставим \( a^2 \):

\( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} 12(k^2 - h^2) = 3 \sqrt{3} (k^2 - h^2) \)

Теперь найдем объем:

\( V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} 3 \sqrt{3} (k^2 - h^2) h = \sqrt{3} h (k^2 - h^2) \)

Ответ: Объем пирамиды \( V = \sqrt{3} h (k^2 - h^2) \).

3. Построение графиков функций:

а) \( y = -x^2 + 8x - 16 \)

Это квадратичная функция. График — парабола. Вершина параболы находится в точке \( x_в = -\frac{b}{2a} \).

\( x_в = -\frac{8}{2(-1)} = -\frac{8}{-2} = 4 \)

Найдем \( y \) для вершины: \( y_в = -(4)^2 + 8(4) - 16 = -16 + 32 - 16 = 0 \).

Вершина параболы: \( (4, 0) \).

Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент \( a = -1 < 0 \).

\( y = -(x^2 - 8x + 16) = -(x-4)^2 \)

б) \( y = -1,5(x+2)^2 + 2 \)

Это квадратичная функция. График — парабола.

Вершина параболы находится в точке \( (-2, 2) \).

Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент \( a = -1,5 < 0 \).

в) \( y = 0,25x^2 - 7x \)

Это квадратичная функция. График — парабола.

Вершина параболы находится в точке \( x_в = -\frac{b}{2a} \).

\( x_в = -\frac{-7}{2(0,25)} = -\frac{-7}{0,5} = 14 \)

Найдем \( y \) для вершины: \( y_в = 0,25(14)^2 - 7(14) = 0,25 196 - 98 = 49 - 98 = -49 \).

Вершина параболы: \( (14, -49) \).

Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент \( a = 0,25 > 0 \).

Для построения графиков функций необходим инструмент для рисования (например, онлайн-сервис или миллиметровая бумага).