1. Представьте в виде дроби: а) −(54a⁸b⁹/c¹²) · (−a⁴c²⁰/(12b¹⁵)); б) (42x¹⁰y⁶)/(55z³t⁵) : (18x⁹y⁸)/(77z²t⁶); в) (98m⁸n¹⁴)/p¹³ : (49m⁵n⁶p²); г) cd/(d² − c²) · ((d − 9)/d − (c − 9)/c); д) ((3 − x)/x²) · ((xy − x)/(3 − x)) + (3 − y)/(3x²); е) ((5a + 5b)/b) · (6b²/(a² − b²)).

а) Перемножаем дроби и сокращаем степени одинаковых букв:

\(\displaystyle -\frac{54a^8b^9}{c^{12}}\cdot\left(-\frac{a^4c^{20}}{12b^{15}}\right)=\frac{54}{12}\cdot\frac{a^{8+4}c^{20-12}}{b^{15-9}}=\frac{9a^{12}c^8}{2b^6}.\)

б) Деление на дробь заменяем умножением на обратную:

\(\displaystyle \frac{42x^{10}y^6}{55z^3t^5}:\frac{18x^9y^8}{77z^2t^6}=\frac{42\cdot77}{55\cdot18}\cdot\frac{x^{10-9}t^{6-5}}{y^{8-6}z^{3-2}}=\frac{49xt}{15y^2z}.\)

в) Деление заменяем умножением на обратное выражение и вычитаем показатели степеней:

\(\displaystyle \frac{98m^8n^{14}}{p^{13}}:(49m^5n^6p^2)=2m^{8-5}n^{14-6}p^{-13-2}=\frac{2m^3n^8}{p^{15}}.\)

г) Сначала упрощаем выражение в скобках:

\(\displaystyle \frac{d-9}{d}-\frac{c-9}{c}=1-\frac9d-1+\frac9c=\frac{9(d-c)}{cd}.\)

Тогда \(\displaystyle \frac{cd}{d^2-c^2}\cdot\frac{9(d-c)}{cd}=\frac{9(d-c)}{(d-c)(d+c)}=\frac9{d+c}.\)

д) Сокращаем общий множитель \(3-x\), затем приводим дроби к общему знаменателю:

\(\displaystyle \frac{3-x}{x^2}\cdot\frac{xy-x}{3-x}+\frac{3-y}{3x^2}=\frac{xy-x}{x^2}+\frac{3-y}{3x^2}=\frac{y-1}{x}+\frac{3-y}{3x^2}=\frac{3x(y-1)+3-y}{3x^2}.\)

е) Раскладываем на множители сумму и разность квадратов, затем сокращаем:

\(\displaystyle \frac{5(a+b)}b\cdot\frac{6b^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{30b}{a-b}.\)

В исходных выражениях знаменатели должны быть ненулевыми: в пункте а) \(b\ne0, c\ne0\); б) \(y,z,t\ne0\); в) \(p\ne0\), а все знаменатели второго множителя также должны быть ненулевыми; г) \(c\ne0, d\ne0, d^2-c^2\ne0\); д) \(x\ne0, x\ne3\); е) \(b\ne0, a^2-b^2\ne0\).

Ответ: а) \(\frac{9a^{12}c^8}{2b^6}\); б) \(\frac{49xt}{15y^2z}\); в) \(\frac{2m^3n^8}{p^{15}}\); г) \(\frac9{d+c}\); д) \(\frac{3x(y-1)+3-y}{3x^2}\); е) \(\frac{30b}{a-b}\).