1) Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида: a) - 3a²b⁴ ⋅ 3a²b⁵; 2) Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида: а) (5x² + 6x - 3) - (2x²- 3x – 4); б) (-4a²b⁶)³. 3) Представьте в виде многочлена выражение: a) (a + 7)²; б) (3x – 4y)²; в) (m - 6)(m + 6); г) (5a + 8b)(8b – 5a). 4) Упростите выражение (х – 1)² - (x + 3)(x - 3) . 5) Разложите на множители: a) 5a²-20ab; б) 7x³-14x⁵; в) За - 3b + ax - bx; г) а² – 9; д) b² + 10b + 25; e)9x² - 12xy + 4y². 6) Известно, что 2a²b³ = 9. Найдите значение выражения: a) - 6a²b³; б) 2a⁴b⁶.

Пошаговое решение:

• 1а)

  Для преобразования выражения в одночлен стандартного вида, перемножим коэффициенты и сложим степени переменных:

  • −3·3 = −9
  • a²·a² = a²⁺² = a⁴
  • b⁴·b⁵ = b⁴⁺⁵ = b⁹

  Ответ: -9a⁴b⁹

• 2а)

  Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

  • (5x² + 6x - 3) - (2x²- 3x – 4) = 5x² + 6x - 3 - 2x² + 3x + 4
  • = (5x² - 2x²) + (6x + 3x) + (-3 + 4)
  • = 3x² + 9x + 1

  Ответ: 3x² + 9x + 1

• 2б)

  Применим свойство степени (ab)ⁿ = aⁿbⁿ и n^m = n^m*k:

  • (-4a²b⁶)³ = (-4)³ · (a²)³ · (b⁶)³
  • = -64 · a^2*3 · b^6*3
  • = -64a⁶b¹⁸

  Ответ: -64a⁶b¹⁸

• 3а)

  Применим формулу квадрата суммы (a + b)² = a² + 2ab + b²:

  • (a + 7)² = a² + 2·a·7 + 7²
  • = a² + 14a + 49

  Ответ: a² + 14a + 49

• 3б)

  Применим формулу квадрата разности (a - b)² = a² - 2ab + b²:

  • (3x – 4y)² = (3x)² - 2·3x·4y + (4y)²
  • = 9x² - 24xy + 16y²

  Ответ: 9x² - 24xy + 16y²

• 3в)

  Применим формулу разности квадратов (a - b)(a + b) = a² - b²:

  • (m - 6)(m + 6) = m² - 6²
  • = m² - 36

  Ответ: m² - 36

• 3г)

  Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов (a - b)(a + b) = a² - b²:

  • (5a + 8b)(8b – 5a) = (8b + 5a)(8b - 5a)
  • = (8b)² - (5a)²
  • = 64b² - 25a²

  Ответ: 64b² - 25a²

• 4)

  Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

  • (х – 1)² - (x + 3)(x - 3) = (x² - 2x + 1) - (x² - 9)
  • = x² - 2x + 1 - x² + 9
  • = -2x + 10

  Ответ: -2x + 10

• 5а)

  Вынесем общий множитель 5a:

  • 5a² - 20ab = 5a(a - 4b)

  Ответ: 5a(a - 4b)

• 5б)

  Вынесем общий множитель 7x³:

  • 7x³ - 14x⁵ = 7x³(1 - 2x²)

  Ответ: 7x³(1 - 2x²)

• 5в)

  Вынесем общий множитель 3:

  • 3a - 3b + ax - bx = 3(a - b) + x(a - b)
  • = (3 + x)(a - b)

  Ответ: (3 + x)(a - b)

• 5г)

  Применим формулу разности квадратов a² - b² = (a - b)(a + b):

  • a² - 9 = a² - 3² = (a - 3)(a + 3)

  Ответ: (a - 3)(a + 3)

• 5д)

  Применим формулу квадрата суммы a² + 2ab + b² = (a + b)²:

  • b² + 10b + 25 = b² + 2·b·5 + 5² = (b + 5)²

  Ответ: (b + 5)²

• 5е)

  Применим формулу квадрата разности a² - 2ab + b² = (a - b)²:

  • 9x² - 12xy + 4y² = (3x)² - 2·3x·2y + (2y)² = (3x - 2y)²

  Ответ: (3x - 2y)²

• 6а)

  Выразим 6a²b³ через 2a²b³:

  • 6a²b³ = 3 · (2a²b³)
  • Подставим данное значение: 3 · 9 = 27

  Ответ: 27

• 6б)

  Выразим 2a⁴b⁶ через 2a²b³:

  • 2a⁴b⁶ = 2(a²)²(b³)² = 2(a²b³)²
  • Подставим данное значение: 2(9)² = 2 · 81 = 162

  Ответ: 162