1. Призма. Параллелепипед. 2. Высота прямого кругового конуса равна 20 см, радиус основания равен 25 см. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 12 см. 3. Построить график функции: y = x²-12x-7;

Решение:

1. Параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них является параллелограммом. В основании параллелепипеда лежит параллелограмм.

2. Нахождение площади сечения конуса.

Дано:

• Высота конуса \( h = 20 \) см.
• Радиус основания \( R = 25 \) см.
• Расстояние от сечения до центра основания \( d = 12 \) см.

Найти:

• Площадь сечения \( S_{сечения} \)

Решение:

Сечение, проведенное через вершину конуса и перпендикулярное основанию, представляет собой равнобедренный треугольник. Основанием этого треугольника является хорда основания конуса. Высота этого треугольника равна образующей конуса. Однако, в условии сказано, что сечение проведено через вершину, и расстояние от него до центра основания равно 12 см. Это означает, что сечение не обязательно проходит через центр основания. Сечение, которое проходит через вершину и перпендикулярно основанию, является равнобедренным треугольником. Пусть \( r \) - радиус основания конуса, \( h \) - высота конуса, \( l \) - образующая конуса. Сечение, проведенное через вершину и перпендикулярное основанию, имеет площадь, равную площади треугольника. Расстояние от сечения до центра основания равно 12 см. Это расстояние является проекцией образующей на радиус основания. Пусть \( x \) — половина хорды, лежащей в основании конуса. Тогда радиус основания \( R \) можно найти по теореме Пифагора, если сечение проходит через центр, но здесь расстояние от сечения до центра основания равно 12 см, что означает, что сечение не проходит через центр. Пусть \( R \) - радиус основания, \( h \) - высота конуса. Сечение, проведенное через вершину и перпендикулярное основанию, является равнобедренным треугольником. Высота этого треугольника равна образующей конуса \( l \). Основанием треугольника является хорда основания конуса. Расстояние от вершины конуса до центра основания равно \( h = 20 \) см. Радиус основания \( R = 25 \) см. Расстояние от сечения до центра основания равно 12 см. Рассмотрим сечение, которое является треугольником. Его вершина — вершина конуса, а основание — хорда окружности основания. Пусть \( d \) — расстояние от центра основания до этой хорды, \( d = 12 \) см. В основании конуса имеем прямоугольный треугольник, образованный радиусом \( R \), расстоянием \( d \) и половиной хорды \( a/2 \). По теореме Пифагора: \( R^2 = d^2 + (a/2)^2 \). \( 25^2 = 12^2 + (a/2)^2 \). \( 625 = 144 + (a/2)^2 \). \( (a/2)^2 = 625 - 144 = 481 \). \( a/2 = \sqrt{481} \). \( a = 2 \sqrt{481} \) см. Площадь треугольника сечения равна \( S_{сечения} = \frac{1}{2} \times основание \times высота \). Высота треугольника — это образующая конуса \( l \). \( l^2 = R^2 + h^2 = 25^2 + 20^2 = 625 + 400 = 1025 \). \( l = \sqrt{1025} = \sqrt{25 \times 41} = 5\sqrt{41} \) см. Площадь сечения: \( S_{сечения} = \frac{1}{2} \times a \times l = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{481}) \times 5\sqrt{41} = \sqrt{481} \times 5\sqrt{41} \). Это не совсем то. Прочитаем задание внимательнее: «Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 12 см». Это сечение является треугольником, основание которого — хорда в основании конуса. Расстояние от центра основания до этой хорды равно 12 см. Высота конуса — 20 см. Радиус основания — 25 см. Пусть \( x \) — половина хорды. Тогда \( 25^2 = 12^2 + x^2 \). \( x^2 = 625 - 144 = 481 \). \( x = \sqrt{481} \). Длина хорды \( = 2x = 2\sqrt{481} \). Площадь сечения = \( \frac{1}{2} \times хорда \times высота конуса \) = \( \frac{1}{2} \times 2\sqrt{481} \times 20 \) = \( 20\sqrt{481} \) см².

Ответ: Площадь сечения равна \( 20\sqrt{481} \) см².

3. Построение графика функции \( y = x^2 - 12x - 7 \).

Это график квадратичной функции, который представляет собой параболу.

Найдем вершину параболы:

Координата \( x_в \) вершины находится по формуле: \( x_в = -\frac{b}{2a} \).

В данном уравнении \( a = 1 \), \( b = -12 \), \( c = -7 \).

\( x_в = -\frac{-12}{2 \times 1} = \frac{12}{2} = 6 \).

Теперь найдем координату \( y_в \) вершины, подставив \( x_в = 6 \) в уравнение функции:

\( y_в = (6)^2 - 12(6) - 7 = 36 - 72 - 7 = -36 - 7 = -43 \).

Итак, вершина параболы находится в точке \( (6, -43) \).

Найдем точки пересечения с осями:

С осью \( Oy \): Полагаем \( x = 0 \). \( y = (0)^2 - 12(0) - 7 = -7 \). Точка пересечения: \( (0, -7) \).

С осью \( Ox \): Полагаем \( y = 0 \). \( x^2 - 12x - 7 = 0 \). Найдем дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(1)(-7) = 144 + 28 = 172 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{172} = \sqrt{4 \times 43} = 2\sqrt{43} \).

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 2\sqrt{43}}{2} = 6 + \sqrt{43} \approx 6 + 6.56 = 12.56 \).

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 2\sqrt{43}}{2} = 6 - \sqrt{43} \approx 6 - 6.56 = -0.56 \).

Точки пересечения с осью \( Ox \): \( (6 + \sqrt{43}, 0) \) и \( (6 - \sqrt{43}, 0) \).

Построим график, используя найденные точки:

Ответ: График функции \( y = x^2 - 12x - 7 \) — парабола с вершиной в точке \( (6, -43) \), пересекающая ось \( Oy \) в точке \( (0, -7) \) и ось \( Ox \) в точках \( (6 ± \sqrt{43}, 0) \).