1. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу. 2. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный данному. 3. На рисунке BC || AD, BC = AD. Докажите, что AB = CD. Найдите ∠BAC, если ∠DCA = 85°.

Решение:

1. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу: Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
2. Построение равного угла:
   • 1. Проведите луч OC.
   • 2. Из вершины данного угла A проведите дугу, пересекающую стороны угла в точках P и Q.
   • 3. Радиусом, равным расстоянию PQ, из точки O проведите дугу, пересекающую луч OC в точке R.
   • 4. Радиусом, равным AP (или AQ), из точки R проведите дугу, пересекающую предыдущую дугу в точке S.
   • 5. Проведите луч OS. Угол SOC равен данному углу.
3. Доказательство AB = CD:
   • Рассмотрим треугольники ABC и DCB.
   • 1. BC — общая сторона.
   • 2. ∠ABC = ∠DCB = 90° (по условию, так как BC || AD и углы при AD прямые).
   • 3. BC = AD (по условию).
   • Следовательно, треугольники ABC и DCB равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников, если принять, что BC || AD означает, что ABCD - прямоугольник).
   • Если ABCD - прямоугольник, то AB = CD.
   • Альтернативное доказательство, если ABCD - не обязательно прямоугольник, а трапеция с BC || AD и BC = AD, и есть прямые углы при AD:
     • Рассмотрим треугольники ABC и DCB.
     • 1. BC — общая сторона.
     • 2. ∠ABC = ∠DCB = 90° (т.к. BC || AD и AB ⊥ AD, CD ⊥ AD, то ABCD - прямоугольник).
     • 3. AB = CD (свойство прямоугольника).
     • Пересмотр условия: Условие BC || AD, BC = AD означает, что ABCD - параллелограмм. Если дополнительно ∠DAB = ∠ADC = 90°, то ABCD - прямоугольник. Если ∠ABC = ∠BCD = 90°, то ABCD - прямоугольник. Если просто BC || AD и BC = AD, то ABCD - параллелограмм. Если BC || AD и AB ⊥ AD, CD ⊥ AD, то ABCD - прямоугольник. Из рисунка следует, что AB ⊥ AD и CD ⊥ AD.
     • Итак, ABCD - прямоугольник.
     • По свойству прямоугольника, противолежащие стороны равны: AB = CD и BC = AD.
4. Нахождение ∠BAC:
   • Так как ABCD — прямоугольник, то ∠DCA = ∠BAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC).
   • Следовательно, ∠BAC = 85°.

Ответ: ∠BAC = 85°.