1. Признаки параллельности двух прямых (с док-вом одного на выбор) 2. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними 3. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Точки М, Н и К — середины сторон АВ, ВС, АС соответственно, докажите, что ДАМК=АКНС. 4. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, причем ОА= OD. На отрезке AD отмечена точка Р, так что ∠COP=∠BOP. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника AOD принадлежит отрезку OP.

Решение:

1. Признаки параллельности прямых:
   • Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
   • Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
   • Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
2. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними:
   • С помощью линейки построить отрезок, равный одной из данных сторон.
   • С помощью транспортира от одной из вершин отложить заданный угол.
   • На второй стороне угла отложить отрезок, равный второй данной стороне.
   • Соединить концы отрезков — получится искомый треугольник.
3. Доказательство: Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = BC \). M, N, K — середины сторон AB, BC, AC соответственно. Доказать: \( \triangle AMK = \triangle KNC \).
   
   Доказательство:
   1. Так как M, N, K — середины сторон, то \( AM = MB = \frac{1}{2}AB \), \( BN = NC = \frac{1}{2}BC \), \( AK = KC = \frac{1}{2}AC \).
   2. По условию \( AB = BC \), следовательно, \( AM = NC \).
   3. Рассмотрим \( \triangle AMK \) и \( \triangle KNC \).
   4. \( AM = NC \) (доказано выше).
   5. \( AK = KC \) (по определению середины отрезка).
   6. \( \angle MAK = \angle NCK \) (углы при основании равнобедренного \( \triangle ABC \) \( AB = BC \), так как \( AC \) — основание, \( \angle BAC = \angle BCA \)).
   7. Следовательно, \( \triangle AMK = \triangle KNC \) по двум сторонам и углу между ними (I признак равенства треугольников).
4. Доказательство: Дано: Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, \( OA = OD \). Точка P на AD такая, что \( \angle COP = \angle BOP \). Доказать: Точка пересечения медиан \( \triangle AOD \) принадлежит OP.
   
   Доказательство:
   1. Рассмотрим \( \triangle AOC \) и \( \triangle DOB \).
   2. \( OA = OD \) (по условию).
   3. \( \angle AOC = \angle DOB \) (как вертикальные углы).
   4. \( \angle COP = \angle BOP \) (по условию).
   5. Следовательно, \( \triangle AOC \) не обязательно равно \( \triangle DOB \).
   6. Рассмотрим \( \triangle AOP \) и \( \triangle DOP \).
   7. \( OA = OD \) (по условию).
   8. \( OP \) — общая сторона.
   9. \( \angle AOP \) и \( \angle DOP \) не обязательно равны.
   10. Рассмотрим \( \triangle AOD \). Пусть \( OM \) — медиана, проведенная из вершины \( O \) к стороне \( AD \). Тогда M — середина AD.
   11. По условию \( \angle COP = \angle BOP \), следовательно, луч OP является биссектрисой \( \angle COB \).
   12. Так как \( \angle AOC = \angle DOB \) (вертикальные), то \( \angle COB = 180^° - \angle AOC \) и \( \angle AOD = 180^° - \angle AOC \).
   13. Значит, \( \angle COB = \angle AOD \).
   14. Если OP — биссектриса \( \angle COB \) и \( \angle COB = \angle AOD \), то OP также является биссектрисой \( \angle AOD \).
   15. В \( \triangle AOD \) проведем медиану OM. Пусть точка пересечения медиан — G.
   16. Если OP является биссектрисой \( \angle AOD \) и \( \triangle AOD \) — равнобедренный (так как \( OA=OD \)), то биссектриса является также медианой и высотой.
   17. Следовательно, OP совпадает с медианой OM.
   18. Таким образом, точка пересечения медиан G лежит на OP (так как G лежит на OM, а OM = OP).

Ответ: приведены признаки параллельности прямых, метод построения треугольника, доказательство равенства треугольников и доказательство принадлежности точки отрезку.