Ответ:
1. Больной зверёк не отбивался, а только жалобно пищал. Однородные сказуемые: не отбивался, а пищал. Относятся к слову зверёк, отвечают на вопрос: зверёк что делал? Запятая ставится перед противительным союзом а.
2. Заяц перескочил через дорогу, подошёл к своей старой норе, раскопал снег, уложил на спине уши и заснул с открытыми глазами. Однородные сказуемые: перескочил, подошёл, раскопал, уложил, заснул. Относятся к слову заяц, отвечают на вопрос: заяц что сделал? Между однородными сказуемыми без союзов ставятся запятые; перед одиночным союзом и между последними сказуемыми запятая не ставится.
3. Старик и старуха вылепили и носик, и ротик, и подбородочек. Однородные подлежащие: старик и старуха. Относятся к сказуемому вылепили и отвечают на вопрос: кто вылепил? Однородные дополнения: носик, ротик, подбородочек. Относятся к сказуемому вылепили, отвечают на вопрос: вылепили что? Повторяющийся союз и… и… и соединяет однородные члены, поэтому между ними ставятся запятые.
