1. Прочитайте условие задачи. Из круглого бревна диаметра d надо вырезать балку прямоугольного сечения с основанием a и высотой h. При каких значениях a и h площадь сечения балки будет наибольшей? 2. Выразите переменную h через переменную a и параметр d. 3. Определите допустимые значения переменной a. 4. Введите переменную для площади сечения балки. Пусть она равна S. 5. Выразите переменную S через переменную a и параметр d. Из перечисленных вариантов ответа выберите верный.

Диагональ прямоугольного сечения равна диаметру бревна, поэтому по теореме Пифагора:

\[a^2+h^2=d^2.\]

Отсюда выразим высоту:

\[h=\sqrt{d^2-a^2}.\]

Для существования прямоугольника необходимо, чтобы \(0

Площадь сечения равна произведению основания на высоту:

\[S=ah=a\sqrt{d^2-a^2}.\]

Максимум площади прямоугольника с постоянной диагональю достигается при равенстве его сторон:

\[a=h.\]

Тогда:

\[2a^2=d^2,\qquad a=h=\frac{d}{\sqrt2}.\]

Максимальная площадь:

\[S_{\max}=a h=\frac{d^2}{2}.\]

Ответ: \(a=h=\frac{d}{\sqrt2}\); верный вариант — \(S=a\sqrt{d^2-a^2}\) (третий).