Ответ:

  1. У меня синие глаза, а у моей сестры — карие. Слово «карие» — нормативное название коричневого цвета глаз.
  2. У собаки грустные глаза. Слово «очи» обычно употребляется в поэтической речи, поэтому здесь оно неуместно.
  3. В супермаркете мы поднялись на третий этаж на эскалаторе. Ошибки нет.
  4. Заруби себе на носу: спиваться нельзя! Устойчивое выражение — «зарубить себе на носу».
  5. Мой братишка совсем маленький: от горшка два вершка. Исправлена смысловая несогласованность.
  6. Краснов Вадим стоит в очереди последним. Слово «крайний» в этом значении неуместно.
  7. Вчера мы опять поссорились. «Обратно» означает «в обратном направлении»; здесь нужно слово «опять».
  8. Не надо смеяться надо мной. Употребляется сочетание «смеяться над кем-либо».
  9. У соседей живёт огромный кот. Уменьшительное «котик» не сочетается по смыслу со словом «огромный».
  10. Мы часто угощаем соседского кота. Такая форма яснее выражает принадлежность кота соседу.
  11. Вася не пришёл, потому что приболел. Ошибки нет.
  12. Ребята пошли на уроки. Слово «побежали» уже передаёт значение быстрого движения, поэтому «бегом» избыточно.