1. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Р. Меньшее основание BC равно 8 см, PC = 7 см, CD = 21 см. Найдите большее основание трапеции. 2. Высота KP треугольника MNK делит его сторону MN на отрезки MP и PN. Найдите сторону KN, если MP = 4√3 см, PN = 3 см, ∠MKP = 60°. 3. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции. 4. В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC и СА. Найдите отрезки касательных и площадь треугольника, если AB = 10 см, BC = 12 см, СА = 5 см. 5. Разделите отрезок AB = 7,5 на 6 равных частей.

Решение:

1. Нахождение большего основания трапеции:

1. Так как стороны AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке P, то треугольники PBC и PAD подобны.
2. Отношение подобия равно отношению соответствующих сторон: \( \frac{PB}{PA} = \frac{PC}{PD} = \frac{BC}{AD} \).
3. Из условия задачи известно, что PC = 7 см, CD = 21 см. Следовательно, PD = PC + CD = 7 + 21 = 28 см.
4. Тогда коэффициент подобия \( k = \frac{PC}{PD} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4} \).
5. Отношение оснований трапеции также равно коэффициенту подобия: \( \frac{BC}{AD} = k \).
6. Подставляем известные значения: \( \frac{8}{AD} = \frac{1}{4} \).
7. Находим большее основание AD: \( AD = 8 \times 4 = 32 \) см.

2. Нахождение стороны KN:

1. В прямоугольном треугольнике KPM: \( KM = \sqrt{KP^2 + MP^2} \).
2. В прямоугольном треугольнике KPN: \( KN = \sqrt{KP^2 + PN^2} \).
3. Из условия \( \angle MKP = 60^{\circ} \), а \( KP \) — высота, значит, \( \angle PKM = 60^{\circ} \) и \( \angle KPM = 90^{\circ} \).
4. В треугольнике KPM: \( MP = KP \cdot \tan(60^{\circ}) \).
5. Вычисляем высоту KP: \( KP = \frac{MP}{\tan(60^{\circ})} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \) см.
6. Теперь находим сторону KN: \( KN = \sqrt{KP^2 + PN^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \) см.

3. Вычисление площади трапеции:

1. Обозначим основания трапеции как \( a = 12 \) см и \( b = 18 \) см. Пусть \( x \) — отрезок, на который высота делит большее основание, то есть \( x = \frac{18 - 12}{2} = 3 \) см.
2. Пусть \( d \) — диагональ трапеции. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, отрезком \( x \) и диагональю, имеем \( d^2 = h^2 + 18^2 \), где \( h \) — высота трапеции.
3. Так как диагональ является биссектрисой тупого угла, обозначим угол при основании \( \alpha \). Тогда диагональ делит его пополам.
4. В равнобокой трапеции диагональ \( d \) связана с основаниями и боковой стороной \( c \) формулой \( d^2 = ab + c^2 \).
5. Пусть \( c \) — боковая сторона. Диагональ \( d \) является биссектрисой, что означает, что она делит противоположную сторону (или ее продолжение) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
6. В равнобокой трапеции, диагональ \( d \) равна \( d = \frac{ab + c^2}{a+c} \) - это неверная формула.
7. Используем свойство биссектрисы. Пусть \( \angle CAD = \angle CAB = \alpha \). Так как трапеция равнобокая, \( \angle BAC = \angle ACD \).
8. Из того, что диагональ является биссектрисой, следует, что \( \angle CAD = \angle BAC \).
9. Это означает, что \( \angle ACD = \angle BAC \), поэтому треугольник ABC равнобедренный, что противоречит условию трапеции.
10. Переформулируем: диагональ AC является биссектрисой угла A. Углы при основании AD равны. \( \angle DAC = \angle CAB \).
11. Так как трапеция равнобокая, \( \angle ADB = \angle ACB \).
12. Углы при основании AD: \( \angle DAB = \angle CDA \). Углы при основании BC: \( \angle ABC = \angle DCB \).
13. Пусть \( \angle CAD = \angle BAC = \alpha \). Тогда \( \angle DAB = 2\alpha \). \( \angle CDA = 2\alpha \).
14. В треугольнике ABC: \( \angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^{\circ} \).
15. В равнобокой трапеции боковая сторона равна: \( c = \sqrt{h^2 + x^2} \). \( x = 3 \). \( c = \sqrt{h^2 + 9} \).
16. Диагональ \( d \) связана с основаниями и боковой стороной: \( d^2 = ab + c^2 \) — неверно.
17. Правильная формула для диагонали равнобокой трапеции: \( d^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} + ab \) — неверно.
18. Используем свойство биссектрисы: диагональ AC является биссектрисой угла A. Углы при основании AD равны. \( \angle DAC = \angle CAB \).
19. Так как трапеция равнобокая, \( \angle CAD = \angle BCA \) (как накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей AC).
20. Следовательно, \( \angle BAC = \angle BCA \). Это значит, что треугольник ABC равнобедренный, и \( AB = BC \).
21. Если \( AB = BC = 8 \) см, то \( c = 8 \) см.
22. Высота \( h \) в прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной, высотой и отрезком \( x \): \( c^2 = h^2 + x^2 \).
23. \( 8^2 = h^2 + 3^2 \) \( 64 = h^2 + 9 \) \( h^2 = 55 \) \( h = \sqrt{55} \) см.
24. Площадь трапеции: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{12+18}{2} \cdot \sqrt{55} = \frac{30}{2} \cdot \sqrt{55} = 15\sqrt{55} \) кв. см.

4. Нахождение отрезков касательных и площади треугольника ABC:

1. Обозначим отрезки касательных от вершины A как \( x \), от B как \( y \), от C как \( z \).
2. Из свойств касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем: \( AE = AF = x \), \( BE = BD = y \), \( CD = CF = z \).
3. По условию задачи: \( AB = x + y = 10 \) см, \( BC = y + z = 12 \) см, \( CA = x + z = 5 \) см.
4. Сложим все три уравнения: \( (x+y) + (y+z) + (x+z) = 10 + 12 + 5 \) \( 2(x+y+z) = 27 \) \( x+y+z = 13.5 \) см.
5. Найдем отрезки касательных:
• \( x = (x+y+z) - (y+z) = 13.5 - 12 = 1.5 \) см.
• \( y = (x+y+z) - (x+z) = 13.5 - 5 = 8.5 \) см.
• \( z = (x+y+z) - (x+y) = 13.5 - 10 = 3.5 \) см.
6. Отрезки касательных: от A — 1.5 см, от B — 8.5 см, от C — 3.5 см.
7. Площадь треугольника ABC можно найти по формуле Герона. Полупериметр \( p = \frac{10+12+5}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \) см.
8. \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{13.5(13.5-10)(13.5-12)(13.5-5)} = \sqrt{13.5 \cdot 3.5 \cdot 1.5 \cdot 8.5} = \sqrt{\frac{27}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{17}{2}} = \sqrt{\frac{27 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 17}{16}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 17}}{4} = \frac{3\sqrt{9 \cdot 7 \cdot 17}}{4} = \frac{9\sqrt{119}}{4} \) кв. см.

5. Деление отрезка AB = 7,5 на 6 равных частей:

1. Длина каждой части будет равна: \( \frac{7.5}{6} \) см.
2. \( \frac{7.5}{6} = \frac{75}{60} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25 \) см.
3. Чтобы разделить отрезок AB на 6 равных частей, нужно отметить 5 точек на отрезке, начиная от точки A, на расстоянии 1.25 см друг от друга.

Ответ: 1. Большее основание трапеции равно 32 см. 2. Сторона KN равна 5 см. 3. Площадь трапеции равна 15√55 кв. см. 4. Отрезки касательных от вершин A, B, C равны 1.5 см, 8.5 см, 3.5 см соответственно. Площадь треугольника ABC равна $$\frac{9\sqrt{119}}{4}$$ кв. см. 5. Длина каждой из 6 равных частей отрезка AB равна 1.25 см.