1. Пронумеруйте и решите уравнения: log₃(x² − 3) = log₃(2x); log₍ₓ₊₁₎(x² + 3x − 7) = 2; lg²(x + 1) + 10 = 11lg(x + 1); log₍₁⁄₃₎(x² + 8x) = −2.

1. Область допустимых значений: \(x^2-3>0\) и \(2x>0\), значит \(x>\sqrt3\). При равных логарифмах с одинаковым основанием равны аргументы:

   \(x^2-3=2x\), откуда \((x-3)(x+1)=0\). Корни: \(x=3\) и \(x=-1\); условию подходит только \(x=3\).

2. Для основания логарифма требуется \(x+1>0\) и \(x+1\ne1\), а аргумент должен быть положительным. Из уравнения следует:

   \(x^2+3x-7=(x+1)^2\), поэтому \(x^2+x-8=0\).

   Корни: \(x=\frac{-1\pm\sqrt{33}}2\). С учётом условий подходит только \(x=\frac{-1+\sqrt{33}}2\).

3. Пусть \(t=\lg(x+1)\), где \(x>-1\). Тогда \(t^2+10=11t\), то есть \((t-1)(t-10)=0\). Поэтому \(\lg(x+1)=1\) или \(\lg(x+1)=10\), откуда \(x+1=10\) или \(x+1=10^{10}\).

   Получаем \(x=9\) или \(x=9\,999\,999\,999\).

4. Область определения соблюдена, если \(x^2+8x>0\). По определению логарифма:

   \(x^2+8x=(\frac13)^{-2}=9\), значит \(x^2+8x-9=0\).

   \((x-1)(x+9)=0\), поэтому оба корня, \(x=1\) и \(x=-9\), допустимы: аргумент логарифма в каждом случае равен 9.

Ответ: 1) 3; 2) \(\frac{-1+\sqrt{33}}2\); 3) 9, 9 999 999 999; 4) −9, 1.