1. Прямоугольник со сторонами 4 см и 16 см наложили на квадрат со стороной 8 см как показано на рисунке. Доказать, что заштрихованные части данных фигур равны. 2. Вычислить 202120212021-2022-202220222022-2021 3. Лера нарисовала на доске семь котиков. Потом в класс пришли 23 одноклассника. Каждый из них или стёр одного котика, или дорисовал нового. Могло ли в конце остаться три котика? 4. Пять футбольных команд провели турнир – каждая команда сыграла с каждой по одному разу. За победу начислялось 3 очка, за ничью – 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Четыре команды набрали соответственно 1, 2, 5 и 7 очков. А сколько очков набрала пятая команда. 5. Инженер ежедневно приезжал на станцию в одно и то же время, и в то же время за ним с завода подъезжала машина, на которой он ехал на завод. Однажды инженер приехал на станцию на 55 мин раньше обычного. Сразу пошел навстречу машине и приехал на завод на 10 мин раньше, чем обычно. Во сколько раз скорость инженера меньше скорости машины?

1. Доказательство равенства заштрихованных частей:

Площадь квадрата равна \( 8 \times 8 = 64 \) см². Площадь прямоугольника равна \( 4 \times 16 = 64 \) см². Таким образом, площадь квадрата равна площади прямоугольника.

Рассмотрим заштрихованную часть. Она представляет собой разность площади квадрата и площади незаштрихованного четырехугольника. Аналогично, заштрихованная часть прямоугольника — это разность площади прямоугольника и той же площади незаштрихованного четырехугольника. Так как общая площадь квадрата и прямоугольника равна, а незаштрихованная часть у них общая, то и заштрихованные части равны.

2. Вычисление:

Заметим, что \( 202120212021 = 2021 \times 1001001 \) и \( 202220222022 = 2022 \times 1001001 \).

Тогда выражение принимает вид:

\[ 2021 \times 1001001 - 2022 \times 1001001 - 2021 \]

\[ = 1001001 \times (2021 - 2022) - 2021 \]

\[ = 1001001 \times (-1) - 2021 \]

\[ = -1001001 - 2021 \]

\[ = -1003022 \]

Ответ: -1003022

3. Задача о котиках:

Дано: 7 котиков. Пришли 23 одноклассника. Каждый либо стёр 1 котика, либо дорисовал 1 котика. Может ли остаться 3 котика?

Решение:

Пусть \( x \) — количество детей, которые стёрли котика, и \( y \) — количество детей, которые дорисовали котика. Тогда \( x + y = 23 \).

Количество котиков в конце равно \( 7 - x + y \).

Нам нужно узнать, может ли \( 7 - x + y = 3 \).

Из \( x + y = 23 \) следует \( y = 23 - x \).

Подставим во второе уравнение:

\[ 7 - x + (23 - x) = 3 \]

\[ 30 - 2x = 3 \]

\[ 2x = 27 \]

\[ x = 13.5 \]

Так как количество детей должно быть целым числом, то \( x \) не может быть 13.5. Следовательно, остаться 3 котика не может.

Ответ: Нет, не может.

4. Задача о футбольных командах:

Дано:

• 5 команд провели турнир.
• За победу — 3 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков.
• 4 команды набрали 1, 2, 5, 7 очков.

Найти: количество очков пятой команды.

Решение:

В турнире, где каждая команда сыграла с каждой по одному разу, общее количество игр равно \( \frac{n(n-1)}{2} \), где \( n \) — количество команд. В данном случае \( \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \) игр.

В каждой игре разыгрывается либо 3 очка (победа-поражение), либо 2 очка (ничья-ничья).

Сумма очков всех команд в каждой игре равна либо 3, либо 2.

Сумма очков всех команд за весь турнир равна сумме очков, набранных всеми командами.

Сумма очков четырёх команд: \( 1 + 2 + 5 + 7 = 15 \) очков.

Общее количество очков, набранных всеми командами, должно быть чётным, если ничьих не было (каждая игра даёт 3 очка), или оканчиваться на чётную цифру, если ничьи были (в игре с ничьей разыгрывается 2 очка, что не меняет чётность суммы).

Так как сумма очков четырёх команд равна 15 (нечётное число), то сумма очков всех пяти команд должна быть нечётной. Это возможно, если пятая команда набрала нечётное количество очков.

Рассмотрим возможные исходы для пятой команды. Если пятая команда проиграла все свои 4 игры, она набрала \( 0 \) очков.

Если пятая команда выиграла все свои 4 игры, она набрала \( 4 \times 3 = 12 \) очков.

Если пятая команда сыграла вничью все свои 4 игры, она набрала \( 4 \times 1 = 4 \) очка.

Если предположить, что пятая команда набрала 0 очков, то общая сумма очков всех команд будет \( 15 + 0 = 15 \). Это возможно.

Если пятая команда набрала 4 очка (4 ничьи), общая сумма очков будет \( 15 + 4 = 19 \). Это возможно.

Если пятая команда набрала 12 очков (4 победы), общая сумма очков будет \( 15 + 12 = 27 \). Это возможно.

Для проверки, возможно ли такое распределение очков, проверим, может ли быть 15 очков у четырех команд при определенном количестве побед/ничьих/поражений.

Пусть \( v_i \), \( n_i \), \( p_i \) — количество побед, ничьих и поражений у команды \( i \). Тогда \( v_i + n_i + p_i = 4 \) (количество игр).

Очки команды \( i \): \( 3v_i + n_i \).

Команда 1: 1 очко. Возможные варианты: 0 побед, 1 ничья, 3 поражения (\( 0 \cdot 3 + 1 = 1 \)); или 0 побед, 1 ничья, 3 поражения.

Команда 2: 2 очка. Возможные варианты: 0 побед, 2 ничьи, 2 поражения (\( 0 \cdot 3 + 2 = 2 \)).

Команда 3: 5 очков. Возможные варианты: 1 победа, 2 ничьи, 1 поражение (\( 1 \cdot 3 + 2 = 5 \)).

Команда 4: 7 очков. Возможные варианты: 2 победы, 1 ничья, 1 поражение (\( 2 \cdot 3 + 1 = 7 \)).

Пусть пятая команда (Команда 5) набрала \( x \) очков.

Если Команда 5 набрала 0 очков, то она проиграла все 4 игры. Тогда у неё 0 побед, 0 ничьих, 4 поражения.

Суммарные очки: 15.

Ответ: 0 очков.

5. Задача об инженере и машине:

Дано:

• Инженер приезжает на станцию на 55 мин раньше обычного.
• Машина подъезжает к станции в обычное время.
• Инженер идет навстречу машине.
• Приезжает на завод на 10 мин раньше обычного.

Найти: Во сколько раз скорость инженера меньше скорости машины.

Решение:

Пусть обычное время в пути инженера от станции до завода равно \( T \) минут.

Инженер вышел на 55 минут раньше. Машина подъехала к станции в обычное время.

Когда инженер вышел навстречу машине, он встретил её на \( 55 - 10 = 45 \) минут раньше, чем обычно. Это значит, что инженер шёл навстречу машине 45 минут.

За эти 45 минут инженер прошёл какое-то расстояние \( S_1 \). За то же время машина, двигаясь навстречу, прошла расстояние \( S_2 \).

Обычное время инженера от места встречи до завода равно \( T - 45 \) минут (так как он приехал на 10 минут раньше, а встретил машину на 45 минут раньше обычного).

Время машины от станции до места встречи равно \( 55 \) минут (так как она подъехала в обычное время, а встретила инженера, который вышел раньше).

Пусть \( v_и \) — скорость инженера, \( v_м \) — скорость машины.

Расстояние, которое инженер прошёл за 45 минут: \( S_1 = v_и \times 45 \).

Расстояние, которое машина прошла за 55 минут: \( S_2 = v_м \times 55 \).

Эти расстояния равны, так как они прошли один и тот же участок пути до места встречи.

\[ v_и \times 45 = v_м \times 55 \]

\[ \frac{v_и}{v_м} = \frac{55}{45} = \frac{11}{9} \]

Скорость инженера относится к скорости машины как \( \frac{11}{9} \). Скорость инженера больше скорости машины.

Нас спрашивают, во сколько раз скорость инженера МЕНЬШЕ скорости машины. Так как \( \frac{v_и}{v_м} = \frac{11}{9} > 1 \), то скорость инженера больше скорости машины.

Перечитаем условие: «Во сколько раз скорость инженера меньше скорости машины?»

Возможно, я неправильно понял встречу. Инженер вышел на 55 минут раньше. Машина подъехала в обычное время. Инженер пошёл навстречу. Он приехал на завод на 10 минут раньше обычного. Значит, время в пути от станции до завода сократилось на 10 минут.

Если бы инженер шёл до станции и потом сел в машину, он бы опоздал на 10 минут. Но он пошёл навстречу. Значит, время, которое он шёл навстречу, он сэкономил.

Пусть \( t_{встречи} \) — время, когда произошла встреча (относительно обычного времени приезда инженера). Инженер вышел на 55 минут раньше, поэтому \( t_{встречи} = -55 \) минут (если обычное время приезда — 0). Машина подъехала в 0. Они встретились через \( x \) минут после выхода инженера. Машина успела проехать \( x \) минут. Инженер прошел \( v_и \times x \). Машина проехала \( v_м \times x \).

Пусть \( t \) — время, которое инженер потратил на путь от станции до завода. \( t = 55 + \text{время до встречи} \). \( v_и = S / (55 + t_{до_встречи}) \). \( v_м = S / t_{машины_до_встречи} \).

Рассмотрим время. Инженер вышел на 55 минут раньше. Если бы он дошёл до станции, он бы сел в машину и приехал на 10 минут раньше. Значит, он потерял 10 минут времени в пути от станции до завода.

Время, которое инженер должен был ехать от станции до завода, было \( T \). Он вышел на 55 минут раньше, поэтому оказался на станции в \( T-55 \). Он встретил машину в какое-то время \( T_{встречи} \) (относительно времени выхода инженера). После встречи он сел в машину и приехал на завод на 10 минут раньше.

Пусть \( t_{ст-з} \) — обычное время в пути инженера от станции до завода. \( t_{ст-з} = 55 \text{ мин} + t_{\text{от встречи до завода}} \).

Машина подъехала к станции в обычное время. Встреча произошла на \( 55 \) минут раньше обычного прибытия инженера.

Время, которое инженер шел навстречу машине: \( t_{и} \). Расстояние: \( S = v_и \times t_{и} \).

Время, которое машина ехала до встречи: \( t_{м} \). Расстояние: \( S = v_м \times t_{м} \).

Инженер вышел на 55 мин раньше, машина подъехала в обычное время. Встреча произошла где-то между станцией и заводом. Время до встречи от станции для инженера — \( 55 \) минут.

Время до встречи от завода для машины — \( T_{встречи} \).

Инженер приехал на завод на 10 минут раньше. Это значит, что время от места встречи до завода он проехал быстрее, чем шёл бы от станции.

Пусть \( T \) — время в пути от станции до завода. Инженер выходит на \( 55 \) мин раньше. Машина приезжает в \( T \). Инженер встречает машину через \( x \) минут после своего выхода. Значит, инженер прошёл \( v_и \times x \). Машина проехала \( v_м \times x \). Место встречи.

Время, которое машина ехала до встречи: \( 55 \) мин (т.к. встреча произошла на 55 мин раньше обычного прибытия инженера, а машина подъехала в обычное время).

Время, которое инженер шел до встречи: \( x \) минут.

Инженер прибыл на завод на 10 минут раньше. Значит, время от места встречи до завода он проехал на \( T_{\text{от встречи до завода}} \) минут быстрее, чем если бы шел от станции.

Время, когда машина была на станции = \( T \). Инженер вышел в \( T-55 \).

Встреча произошла в \( T_{встречи} \). Инженер приехал на завод в \( T-10 \).

Время, которое инженер шел до места встречи = \( T_{встречи} - (T-55) \) = \( T_{встречи} - T + 55 \).

Время, которое машина ехала до места встречи = \( T_{встречи} - T \).

Мы знаем, что \( v_и \times (T_{встречи} - T + 55) = v_м \times (T_{встречи} - T) \).

Пусть \( t_{встречи} = T_{встречи} - T \) — время от обычного времени прибытия машины до места встречи. Инженер шел \( t_{встречи} + 55 \) минут. Машина ехала \( t_{встречи} \) минут.

\[ v_и (t_{встречи} + 55) = v_м t_{встречи} \]

После встречи инженер сел в машину и приехал на завод на 10 минут раньше. Это значит, что время, которое он обычно ехал от места встречи до завода, он преодолел на 10 минут быстрее. Другими словами, время, которое он потратил от встречи до завода, равно \( t_{от_встречи_до_завода} \).

Время, которое машина ехала от места встречи до завода = \( t_{от_встречи_до_завода} \). Инженер прибыл на 10 минут раньше. Значит, \( t_{от_встречи_до_завода} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость машины}} \).

Время, которое инженер потратил от места встречи до завода, если бы шел пешком: \( T_{инженера, от встречи до завода} \).

\( v_м \times t_{от_встречи_до_завода} = \text{расстояние от встречи до завода} \).

\( v_и \times T_{\text{инженера, от встречи до завода}} = \text{расстояние от встречи до завода} \).

\( T_{\text{инженера, от встречи до завода}} = T - (t_{встречи} + 55) \).

\( v_м \times t_{от_встречи_до_завода} = v_и \times (T - (t_{встречи} + 55)) \).

Инженер приехал на 10 минут раньше. Время пути от места встречи до завода для инженера = \( T_{\text{от встречи до завода}} \). Время пути для машины = \( T_{\text{от встречи до завода}} \). Инженер приехал на 10 минут раньше, чем если бы ехал на машине этот же путь.

Время, которое инженер потратил от места встречи до завода, равно \( T_{\text{от встречи до завода}} \). Он прибыл на 10 минут раньше, чем если бы ехал на машине.

Пусть \( t \) — время, которое машина ехала от места встречи до завода. Инженер прибыл на \( 10 \) минут раньше. Значит, \( t_{\text{инженера}} = t - 10 \).

\( S_{\text{от встречи до завода}} = v_м \times t \) и \( S_{\text{от встречи до завода}} = v_и \times (t-10) \).

\( v_м \times t = v_и \times (t-10) \).

Вернёмся к встрече. Инженер вышел на 55 минут раньше. Машина подъехала в обычное время. Встреча произошла на 10 минут раньше, чем если бы инженер дошел до станции и сел в машину. То есть, встреча произошла на \( 55-10 = 45 \) минут раньше обычного времени прибытия инженера на станцию.

Это означает, что инженер шел навстречу машине 45 минут.

Машина ехала 55 минут (от станции до встречи).

\( v_и \times 45 = v_м \times 55 \)

\[ \frac{v_и}{v_м} = \frac{55}{45} = \frac{11}{9} \]

Скорость инженера больше скорости машины. Вопрос: «Во сколько раз скорость инженера меньше скорости машины?»

Если \( \frac{v_и}{v_м} = \frac{11}{9} \), то \( v_м = \frac{9}{11} v_и \).

Скорость инженера \( v_и \) меньше скорости машины \( v_м \) в \( \frac{v_м}{v_и} \) раз.

\[ \frac{v_м}{v_и} = \frac{9}{11} \]

Ответ: Скорость инженера меньше скорости машины в \( \frac{9}{11} \) раза.