1. Прямоугольный треугольник (определение, названия сторон). Признаки равенства прямоугольных треугольников (без доказательства). 2. Признак касательной к окружности. Доказательство. 3. В равнобедренном треугольнике угол при основании в 2 раза меньше, чем угол при вершине. Найдите все углы треугольника. 4. В треугольнике MPF ZM = 60°, ∠P =40°. Биссектриса угла М пересекает сторону FP в точке К. Найдите угол FKM.

Математические задачи (Билет 7)

Задача 3:

Пусть угол при вершине равнобедренного треугольника равен $$\alpha$$. Тогда углы при основании равны $$\beta$$. По условию, угол при основании в 2 раза меньше, чем угол при вершине, то есть $$\beta = \frac{\alpha}{2}$$.

Сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому:

\[ \alpha + 2\beta = 180^\circ \]

Подставим $$\beta = \frac{\alpha}{2}$$:

\[ \alpha + 2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 180^\circ \]

\[ \alpha + \alpha = 180^\circ \]

\[ 2\alpha = 180^\circ \]

\[ \alpha = 90^\circ \]

Тогда углы при основании:

\[ \beta = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \]

Ответ: Углы треугольника равны $$90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$$.

Задача 4:

В треугольнике MPF:

• \[ \angle M = 60^\circ \]
• \[ \angle P = 40^\circ \]

Сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$, поэтому:

\[ \angle F = 180^\circ - \angle M - \angle P \]

\[ \angle F = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ \]

\[ \angle F = 80^\circ \]

MK — биссектриса угла M, значит, она делит угол M пополам:

\[ \angle FKM = \frac{\angle M}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \]

Теперь рассмотрим треугольник FKМ:

• \[ \angle F = 80^\circ \]
• \[ \angle FMK = 30^\circ \]

Сумма углов в треугольнике FKМ равна $$180^\circ$$. Найдем угол FKM:

\[ \angle FKM = 180^\circ - \angle F - \angle FMK \]

\[ \angle FKM = 180^\circ - 80^\circ - 30^\circ \]

\[ \angle FKM = 70^\circ \]

Ответ: Угол FKM равен $$70^\circ$$.