1. Прямые ВМ и ВК — касательные к окружности с центром О. Угол МВК равен 60°. ВО = 14 см. Найдите: а) радиус окружности, б) длину отрезка ВК, в) угол ВКО, г) угол МОК

Решение:

Дано:

Окружность с центром О.

ВМ и ВК — касательные.

\(\angle MBK = 60^{\circ}\)

\(BO = 14\) см.

Найти:

а) радиус окружности (r)

б) длину отрезка ВК

в) \(\angle BKO\)

г) \(\angle MOK\)

1. Радиус окружности:

Так как ВМ и ВК — касательные, то радиусы ОМ и ОК, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, \(\angle OMV = 90^{\circ}\) и \(\angle OKV = 90^{\circ}\).

Рассмотрим треугольник \(\triangle BOK\). Это прямоугольный треугольник, так как \(\angle BKO = 90^{\circ}\).

В касательных, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны, то есть \(BK = BM\).

Биссектриса \(BO\) угла \(\angle MBK\) делит его пополам: \(\angle KBO = \frac{1}{2} \angle MBK = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}\).

В прямоугольном \(\triangle BOK\):

\(OK = BO \cdot \sin(\angle KBO)\)

\(r = OK = 14 \cdot \sin(30^{\circ}) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7\) см.

Ответ: а) радиус окружности равен 7 см.

2. Длина отрезка ВК:

В прямоугольном \(\triangle BOK\):

\(BK = BO \cdot \cos(\angle KBO)\)

\(BK = 14 \cdot \cos(30^{\circ}) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}\) см.

Ответ: б) длина отрезка ВК равна 7\(\sqrt{3}\) см.

3. Угол ВКО:

Так как ОК — радиус, проведенный в точку касания, то \(\angle BKO = 90^{\circ}\).

Ответ: в) угол ВКО равен 90°.

4. Угол МОК:

Рассмотрим \(\triangle BOK\) и \(\triangle BOM\). Они равны по гипотенузе и острому углу (BO — общая гипотенуза, \(\angle KBO = \angle MBO = 30^{\circ}\)).

Следовательно, \(\angle BOK = \angle BOM = 30^{\circ}\).

\(\angle MOK = \angle BOM + \angle BOK = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}\).

Ответ: г) угол МОК равен 60°.