1. Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x − π/4) · sin(x − 3π/4) · sin(x − 5π/4). Найдите наибольшее значение функции f(x).

Используем тождества: sin(x − 3π/4) = −sin(x + π/4), sin(x − 5π/4) = −sin(x − π/4). Поэтому

\(f(x)=\sin^2(x+\pi/4)\sin^2(x-\pi/4)\).

По формуле произведения синусов \(\sin(x+\pi/4)\sin(x-\pi/4)=\sin^2 x-\sin^2(\pi/4)=\sin^2 x-1/2\). Следовательно, \(f(x)=(\sin^2 x-1/2)^2\).

Так как \(0\leq\sin^2 x\leq1\), величина \(|\sin^2 x-1/2|\) не превосходит \(1/2\), причём эта граница достигается. Значит, наибольшее значение \(f(x)\) равно \(1/4=0,25\).

Ответ: 0,25