1. Радиус основания цилиндра равен 5 см, а высота цилиндра равна 6 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее. 2. Радиус шара равен 17 см. Найдите площадь сечения шара, удаленного от его центра на 15 см. 3. Радиус основания конуса равен 3 м, а высота 4 м. Найти образующую и площадь осевого сечения.

Задание 1. Сечение цилиндра

Дано:

• Радиус цилиндра: \( r = 5 \) см.
• Высота цилиндра: \( h = 6 \) см.
• Расстояние от оси до сечения: \( d = 4 \) см.

Найти: Площадь сечения \( S \).

Решение:

1. Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник.
2. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра, то есть \( h = 6 \) см.
3. Другая сторона прямоугольника (ширина сечения) находится с помощью теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом цилиндра, расстоянием от оси до сечения и половиной ширины сечения. Пусть ширина сечения равна \( w \). Тогда: \[ \left(\frac{w}{2}\right)^2 + d^2 = r^2 \]
4. Подставим значения: \[ \left(\frac{w}{2}\right)^2 + 4^2 = 5^2 \]
5. \( \left(\frac{w}{2}\right)^2 + 16 = 25 \)
6. \( \left(\frac{w}{2}\right)^2 = 25 - 16 = 9 \)
7. \( \frac{w}{2} = \sqrt{9} = 3 \) см.
8. \( w = 2 \cdot 3 = 6 \) см.
9. Площадь сечения (прямоугольника) равна произведению его сторон: \[ S = h \cdot w \]
10. \( S = 6 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 36 \) см².

Ответ: Площадь сечения равна 36 см².

Задание 2. Сечение шара

Дано:

• Радиус шара: \( R = 17 \) см.
• Расстояние от центра шара до сечения: \( d = 15 \) см.

Найти: Площадь сечения \( S \).

Решение:

1. Сечение шара плоскостью является кругом.
2. Радиус этого круга \( r \) можно найти с помощью теоремы Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара \( R \) (гипотенуза), расстоянием от центра до сечения \( d \) и радиусом сечения \( r \) (катеты).
3. \( r^2 + d^2 = R^2 \)
4. Подставим значения: \( r^2 + 15^2 = 17^2 \)
5. \( r^2 + 225 = 289 \)
6. \( r^2 = 289 - 225 = 64 \)
7. \( r = \sqrt{64} = 8 \) см.
8. Площадь сечения (круга) равна \( S = \pi r^2 \).
9. \( S = \pi \cdot 8^2 = 64\pi \) см².

Ответ: Площадь сечения равна 64\( \pi \) см².

Задание 3. Конус

Дано:

• Радиус основания конуса: \( r = 3 \) м.
• Высота конуса: \( h = 4 \) м.

Найти: образующую \( l \) и площадь осевого сечения \( S_{ос.с.} \).

Решение:

1. Находим образующую:
2. Образующая конуса \( l \), высота \( h \) и радиус основания \( r \) образуют прямоугольный треугольник, где \( l \) — гипотенуза. По теореме Пифагора: \[ l^2 = r^2 + h^2 \]
3. Подставим значения: \[ l^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]
4. \( l = \sqrt{25} = 5 \) м.
5. Находим площадь осевого сечения:
6. Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием \( 2r \) и высотой \( h \).
7. Площадь осевого сечения равна: \[ S_{ос.с.} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = r \cdot h \]
8. Подставим значения: \[ S_{ос.с.} = 3 \(\text{ м}\) \(\cdot\) 4 \(\text{ м}\) = 12 \) м².

Ответ: Образующая равна 5 м, площадь осевого сечения равна 12 м².