1. Расположите все 13 точек, изображённых на рисунке, на 4 прямых линиях. Проведите: а) 5 прямых так, чтобы у них было ровно 5 точек пересечения; б) 5 прямых так, чтобы у них было ровно 6 точек пересечения. Запишите в квадратах аксиому прямой линии и начертите соответствующий рисунок.

а) Ровно 5 точек пересечения.

Проведём четыре прямые через одну общую точку A. Пятую прямую проведём так, чтобы она не проходила через A и пересекала каждую из четырёх первых прямых в разных точках B, C, D и E.

Точки пересечения: A, B, C, D, E — всего 5 точек.

б) Ровно 6 точек пересечения.

Проведём три прямые через точку A и три прямые через точку B, причём одну прямую сделаем общей для обеих троек. Тогда в точке A пересекаются три прямые, в точке B — три прямые. Остальные пары прямых пересекаются ещё в четырёх различных точках.

Итого: 2 общие точки + 4 остальные точки пересечения = 6 точек.

Аксиома прямой линии: через любые две различные точки можно провести единственную прямую.

Для рисунка достаточно отметить две точки и провести через них одну прямую; другой прямой через эти же две точки провести нельзя.