1. Рассчитайте, какое расстояние s пройдёт катер. 2. Рассчитайте абсолютную погрешность расстояния, которое пройдёт катер, если считать, что время движения известно с абсолютной погрешностью 1 мин, скорость течения реки имеет абсолютную погрешность 1 км/ч, скорость катера в стоячей воде известна точно. Округлите результаты до десятых долей. Кратко поясните вычисления. 3. Можно ли с учётом погрешностей величин утверждать, что катер преодолеет расстояние в 19 км? Свой ответ обоснуйте.

Решение:

1. Расчёт расстояния:

Сначала переведём время движения из минут в часы:

• \[ t = 54 \text{ мин} = \frac{54}{60} \text{ ч} = 0.9 \text{ ч} \]

Скорость катера по течению реки равна сумме скорости катера в стоячей воде и скорости течения реки:

• \[ v_{\text{по течению}} = v + u = 17 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 22 \text{ км/ч} \]

Расстояние вычисляется по формуле: расстояние = скорость × время.

• \[ s = v_{\text{по течению}} \times t = 22 \text{ км/ч} \times 0.9 \text{ ч} = 19.8 \text{ км} \]

2. Расчёт абсолютной погрешности расстояния:

Дано:

• Скорость катера в стоячей воде: $$v = 17$$ км/ч (точно)
• Скорость течения реки: $$u = 5 \text{ км/ч}$$ (с погрешностью $$\Delta u = 1$$ км/ч)
• Время движения: $$t = 54$$ мин (с погрешностью $$\Delta t = 1$$ мин)

Сначала переведём погрешность времени в часы:

• \[ \Delta t = 1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч} \approx 0.017 \text{ ч} \]

Скорость катера по течению: $$v_{\text{по течению}} = v + u$$.

Погрешность скорости по течению:

• \[ \Delta v_{\text{по течению}} = \sqrt{(\Delta v)^2 + (\Delta u)^2} \]

Так как скорость катера в стоячей воде известна точно, $$\Delta v = 0$$.

• \[ \Delta v_{\text{по течению}} = \sqrt{0^2 + (1 \text{ км/ч})^2} = 1 \text{ км/ч} \]

Абсолютная погрешность расстояния $$\Delta s$$ рассчитывается по формуле для произведения:

• \[ \Delta s = s \times \sqrt{\left(\frac{\Delta v_{\text{по течению}}}{v_{\text{по течению}}}\right)^2 + \left(\frac{\Delta t}{t}\right)^2} \]

Подставляем значения:

• \[ \Delta s = 19.8 \text{ км} \times \sqrt{\left(\frac{1 \text{ км/ч}}{22 \text{ км/ч}}\right)^2 + \left(\frac{1/60 \text{ ч}}{54/60 \text{ ч}}\right)^2} \]
• \[ \Delta s = 19.8 \times \sqrt{\left(\frac{1}{22}\right)^2 + \left(\frac{1}{54}\right)^2} \]
• \[ \Delta s = 19.8 \times \sqrt{\frac{1}{484} + \frac{1}{2916}} \]
• \[ \Delta s = 19.8 \times \sqrt{0.002066 + 0.000343} \]
• \[ \Delta s = 19.8 \times \sqrt{0.002409} \]
• \[ \Delta s = 19.8 \times 0.04908 \approx 0.97 \text{ км} \]

Округляем результат до десятых долей:

• \[ \Delta s \approx 1.0 \text{ км} \]

3. Возможность утверждения о преодолении 19 км:

Рассчитанное расстояние составляет $$s = 19.8$$ км с абсолютной погрешностью $$\Delta s \approx 1.0$$ км.

Нижняя граница возможного пройденного расстояния:

• \[ s_{\text{min}} = s - \Delta s = 19.8 \text{ км} - 1.0 \text{ км} = 18.8 \text{ км} \]

Верхняя граница возможного пройденного расстояния:

• \[ s_{\text{max}} = s + \Delta s = 19.8 \text{ км} + 1.0 \text{ км} = 20.8 \text{ км} \]

Поскольку нижняя граница возможного пройденного расстояния ($$18.8$$ км) меньше $$19$$ км, нельзя с полной уверенностью утверждать, что катер преодолеет расстояние ровно в $$19$$ км. Есть вероятность, что он пройдёт меньшее расстояние.

Ответ:

1. Расстояние: 19.8 км.

2. Абсолютная погрешность расстояния: 1.0 км.

3. Нет, нельзя с полной уверенностью утверждать, что катер преодолеет расстояние в 19 км, так как минимально возможное расстояние составляет 18.8 км.