Ответ:

  1. Разжевав кости от удивления, кот выпустил мышонка из своих лап. (Предложение осложнено деепричастным оборотом.)
  2. Семья Чеховых жила в Таганроге, после переехала в Москву. (Предложение осложнено однородными сказуемыми.)
  3. Уважаемые посетители библиотеки, мы приглашаем вас на встречу с детским писателем. (Предложение осложнено обращением.)
  4. Промокшие до нитки охотники безуспешно пытались согреть костра. (Предложение осложнено распространённым определением, выраженным причастным оборотом.)