Ответ:

1. **Пёс Барбос сторожил дом, а кот Барсик ловил мышей.**
*Решение:* Предложение сложное, так как состоит из двух простых, соединенных союзом "а".
*Грамматическая основа:* Пёс Барбос сторожил; кот Барсик ловил.

2. **Я купил много ручек, карандашей, красок и тетрадей.**
*Решение:* Предложение простое с однородными дополнениями.
*Грамматическая основа:* Я купил.

3. **Мы хотели, чтобы зима поскорей закончилась.**
*Решение:* Предложение сложноподчиненное, так как одна часть зависит от другой.
*Грамматическая основа:* Мы хотели; зима закончилась.

4. **Петя, Даша, Коля, Тимур отправились на поиски приключений.**
*Решение:* Предложение простое с однородными подлежащими.
*Грамматическая основа:* Петя, Даша, Коля, Тимур отправились.

5. **Мы ехали домой, и заморосил дождик.**
*Решение:* Предложение сложное, так как состоит из двух простых, соединенных союзом "и".
*Грамматическая основа:* Мы ехали; дождик заморосил.