1. Равносторонний треугольник MNK со стороной 8 см вписан в окружность. Найдите его радиус. 2. Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 6,5 см. Найдите площадь треугольника, если один из его катетов равен 5 см.

Решение:

1. 1. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника.
   Радиус описанной окружности (R) для равностороннего треугольника со стороной (a) вычисляется по формуле: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]
   Подставим значение стороны \( a = 8 \) см:
   \[ R = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \text{ см} \]
2. 2. Площадь прямоугольного треугольника.
   Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Это значит, что гипотенуза этого треугольника является диаметром описанной окружности.
   Диаметр \( d = 2 \cdot R = 2 \cdot 6.5 \text{ см} = 13 \text{ см} \>.
   Пусть катеты треугольника равны \( a \) и \( b \), а гипотенуза \( c \). По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
   Нам дан один катет, пусть \( a = 5 \) см, и гипотенуза \( c = 13 \) см.
   Найдем второй катет \( b \):
   \[ 5^2 + b^2 = 13^2 \]
   \[ 25 + b^2 = 169 \]
   \[ b^2 = 169 - 25 \]
   \[ b^2 = 144 \]
   \[ b = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]
   Площадь прямоугольного треугольника (S) вычисляется по формуле:
   \[ S = \frac{1}{2} a \cdot b \]
   Подставим значения катетов:
   \[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 60 \text{ см}^2 = 30 \text{ см}^2 \]

Ответ: 1. \( \frac{8 \sqrt{3}}{3} \) см. 2. 30 см².