1. Раздел геометрии, изучающий тела в пространстве, называется ______, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. 2. Две прямые в пространстве называются ______, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. 3. Все грани куба – равные ромбы: а) да; б) нет; 4. Площадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле: а) $$S=2S_{осн} + S_{бок}$$ б) $$S=S_{осн} + S_{бок}$$ 5. Выберите верные высказывания: 1) Любые четыре точки лежат в одной плоскости. 2) Через прямую и не лежащую на ней точку проходит только одна плоскость. 3) Если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости . 4) Две плоскости могут иметь только одну общую точку. 6. Найдите площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой 8,а высота равна 3. 7. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1 = 1, CD = 2, AD = 2. Найдите длину диагонали CA1. 8. В равностороннем треугольнике ABC AB=6 см, BK- перпендикуляр к плоскости треугольника и равен 13 см. Найдите расстояние от точки K до прямой AC. 9. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 104, а площадь полной поверхности 120. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания. 10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра AB = 3, AD = 2, AA1 = 5 Точка О принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины В. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1.

Решение:

1. Стереометрия
2. Скрещивающимися
3. а) да
4. а) $$S=2S_{осн} + S_{бок}$$
5. 2) Через прямую и не лежащую на ней точку проходит только одна плоскость. 3) Если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости.
6. $$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$$
   $$S_{осн} = 8^2 = 64$$ см$$^2$$.
   Апофема $$l =
   \sqrt{h^2 + (a/2)^2} =
   \sqrt{3^2 + 4^2} =
   \sqrt{9 + 16} =
   \sqrt{25} = 5$$ см.
   $$S_{бок} =
   \frac{1}{2}
   P
   l =
   \frac{1}{2}
   (8
   \times
   4)
   \times
   5 = 80$$ см$$^2$$.
   $$S_{полн} = 80 + 64 = 144$$ см$$^2$$.
7. $$CA_1 =
   \sqrt{CD^2 + AD^2 + DD_1^2} =
   \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} =
   \sqrt{4 + 4 + 1} =
   \sqrt{9} = 3$$
8. $$BK = 13$$ см
9. $$S_{осн} = 120 - 104 = 16$$ см$$^2$$.
   Сторона основания $$a =
   \sqrt{16} = 4$$ см.
   Диагональ основания $$d =
   \sqrt{4^2 + 4^2} =
   \sqrt{32} = 4
   \sqrt{2}$$ см.
   Площадь сечения $$S_{сеч} =
   \frac{1}{2}
   d
   h$$.
   $$S_{бок} =
   \frac{1}{2}
   P
   l =
   \frac{1}{2}
   (4
   \times
   4)
   l = 8l = 104
   
   →
   l = 13$$ см.
   Высота пирамиды $$h =
   \sqrt{l^2 - (a/2)^2} =
   \sqrt{13^2 - 2^2} =
   \sqrt{169 - 4} =
   \sqrt{165}$$ см.
   $$S_{сеч} =
   \frac{1}{2}
   4
   \sqrt{2}
   
   ×
   
   √{165} = 2
   \sqrt{330}$$ см$$^2$$.
10. $$AO =
    \sqrt{AB^2 + BO^2} =
    \sqrt{3^2 + (
    \frac{2}{5}
    \times
    5)^2} =
    \sqrt{9+4} =
    \sqrt{13}$$
    $$OC_1 =
    \sqrt{O_1C_1^2 + OO_1^2}$$
    $$O_1$$ - проекция $$O$$ на плоскость $$A_1B_1C_1D_1$$. $$BO = 2$$, $$OB_1 = 3$$. $$O_1$$ совпадает с $$B_1$$.
    $$OC_1 =
    \sqrt{A_1C_1^2 + OB_1^2} =
    \sqrt{(3^2+2^2) + 3^2} =
    \sqrt{13+9} =
    \sqrt{22}$$
    $$AC_1 =
    \sqrt{AB^2 + BC^2 + CC_1^2} =
    \sqrt{3^2+2^2+5^2} =
    \sqrt{9+4+25} =
    \sqrt{38}$$
    $$S_{AO C_1} =
    \frac{1}{2}
    AC
    
    ×
    
    h_O$$, где $$h_O$$ - высота от $$O$$ до $$AC$$.
    $$AC =
    \sqrt{3^2+2^2} =
    \sqrt{13}$$
    $$S_{ABC} =
    \frac{1}{2}
    3
    
    ×
    
    2 = 3$$
    $$S_{BOC} =
    \frac{1}{2}
    2
    
    ×
    
    5 = 5$$
    $$S_{AOC_1} =
    \frac{1}{2}
    AO
    
    ×
    
    OC_1
    
    ×
    
    \sin(
    ∠
    AOC_1)$$
    $$S_{сеч} =
    \frac{1}{2}
    (3
    
    ×
    
    2)
    
    ×
    
    5 = 15$$