1. Разложите на множители: 1) а) 5x² – 45; 6) ax² – 4a; 2) a) 3x² – 75a²; 6) –2ay² + 2a³; 2. Представьте в виде произведения: 1) а) 5a² + 10ab + 5b²; 6) ax – 4ax + 4a; 2) a) –6a² + 12ab – 6b²; в) –a² + 8ab – 16b²; 6) –2x² – 8x – 8; г) –12x³ + 12x² – 3x. 3. Разложите на множители: 1) а) \(\frac{1}{2}\) a² + ab + \(\frac{1}{2}\) b²; 6) \(\frac{1}{9}\) a³ – 3; 2) a) y⁴ – 8y² + 16; 6) –c + c²; 3) a) (c + 5)c² – (c + 5)2c + (c + 5); 4) a) 8a³ – b³ + 4a² + 2ab + b²; 6) 8a³ – b³ + 4a² – 4ab + b²; 4. Докажите, что: 1) (a + 1)³ – (a + 1) = a(a + 1)(a + 2);

1. Разложите на множители:

1. а) \( 5x^2 - 45 = 5(x^2 - 9) = 5(x - 3)(x + 3) \)
2. б) \( ax^2 - 4a = ax(x - 4) \)
3. а) \( 3x^2 - 75a^2 = 3(x^2 - 25a^2) = 3(x - 5a)(x + 5a) \)
4. б) \( -2ay^2 + 2a^3 = 2a(a^2 - y^2) = 2a(a - y)(a + y) \)

2. Представьте в виде произведения:

1. а) \( 5a^2 + 10ab + 5b^2 = 5(a^2 + 2ab + b^2) = 5(a + b)^2 \)
2. б) \( ax - 4ax + 4a \) - это выражение, видимо, содержит ошибку в исходном задании, предполагая, что должно быть \( ax^2 - 4ax + 4a = a(x^2 - 4x + 4) = a(x - 2)^2 \). Если же это \( ax - 4ax + 4a \), то упрощается до \( -3ax + 4a = a(4 - 3x) \).
3. а) \( -6a^2 + 12ab - 6b^2 = -6(a^2 - 2ab + b^2) = -6(a - b)^2 \)
4. в) \( -a^2 + 8ab - 16b^2 = -(a^2 - 8ab + 16b^2) = -(a - 4b)^2 \)
5. б) \( -2x^2 - 8x - 8 = -2(x^2 + 4x + 4) = -2(x + 2)^2 \)
6. г) \( -12x^3 + 12x^2 - 3x = -3x(4x^2 - 4x + 1) = -3x(2x - 1)^2 \)

3. Разложите на множители:

1. а) \( \frac{1}{2} a^2 + ab + \frac{1}{2} b^2 = \frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = \frac{1}{2}(a + b)^2 \)
2. б) \( \frac{1}{9} a^3 - 3 \) - это выражение не раскладывается на множители в данном виде. Возможно, имелось в виду \( \frac{1}{27} a^3 - 3 \) или \( a^3 - 27 \).
3. а) \( y^4 - 8y^2 + 16 = (y^2 - 4)^2 = ((y - 2)(y + 2))^2 = (y - 2)^2 (y + 2)^2 \)
4. б) \( -c + c^2 = c(c - 1) \)
5. а) \( (c + 5)c^2 - (c + 5)2c + (c + 5) = (c + 5)(c^2 - 2c + 1) = (c + 5)(c - 1)^2 \)
6. а) \( 8a^3 - b^3 + 4a^2 + 2ab + b^2 \) - выражение не поддается стандартному разложению на множители.
7. б) \( 8a^3 - b^3 + 4a^2 - 4ab + b^2 \) - выражение не поддается стандартному разложению на множители.

4. Докажите, что:

1. \( (a + 1)^3 - (a + 1) = a(a + 1)(a + 2) \)

Доказательство:

Левая часть:

\( (a + 1)^3 - (a + 1) = (a + 1)((a + 1)^2 - 1) = (a + 1)(a^2 + 2a + 1 - 1) = (a + 1)(a^2 + 2a) = (a + 1)a(a + 2) \)

Правая часть:

\( a(a + 1)(a + 2) \)

Левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.