1.Разработайте и оформите план – схему решения задачи, позволяющую решить её ученику самостоятельно. 2.Оформите решение задачи. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение √5-7x·ln(9x² - a²) = √5-7x · ln (3х + а) имеет ровно один корень.

План решения задачи:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения, учитывая условия подкоренного выражения и аргумента логарифма.
2. Проанализировать структуру уравнения: обе части имеют общий множитель \( \sqrt{5-7x} \).
3. Рассмотреть два случая:
• Случай 1: \( \sqrt{5-7x} = 0 \). Найти значения \( x \) и проверить, удовлетворяют ли они ОДЗ.
• Случай 2: \( \sqrt{5-7x} \neq 0 \). Разделить обе части уравнения на \( \sqrt{5-7x} \), получив уравнение \( \ln(9x^2 - a^2) = \ln(3x + a) \).
4. Решить уравнение \( \ln(9x^2 - a^2) = \ln(3x + a) \), используя свойство логарифмической функции (если \( \ln A = \ln B \), то \( A = B \)).
5. Учесть, что \( 9x^2 - a^2 = (3x - a)(3x + a) \), и решить полученное алгебраическое уравнение относительно \( x \), учитывая параметр \( a \).
6. Для каждого случая (отдельно для \( \sqrt{5-7x}=0 \) и для \( \ln(9x^2 - a^2) = \ln(3x + a) \)) проверить, сколько корней имеет уравнение, и при каких значениях \( a \) условие «ровно один корень» выполняется.
7. Объединить решения из всех случаев, исключая посторонние корни, и записать итоговый ответ.

Решение:

Дано уравнение: \( \sqrt{5-7x} \cdot \ln(9x^2 - a^2) = \sqrt{5-7x} \cdot \ln(3x + a) \)

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

• Подкоренное выражение: \( 5 - 7x \geq 0 \) \(\implies\) \( 7x \leq 5 \) \(\implies\) \( x \leq \frac{5}{7} \).
• Аргументы логарифмов:
• \( 9x^2 - a^2 > 0 \) \(\implies\) \( (3x - a)(3x + a) > 0 \).
• \( 3x + a > 0 \).

2. Анализ уравнения:

Перенесём всё в левую часть:

\( \sqrt{5-7x} \cdot \ln(9x^2 - a^2) - \sqrt{5-7x} \cdot \ln(3x + a) = 0 \)

Вынесем общий множитель \( \sqrt{5-7x} \):

\( \sqrt{5-7x} (\ln(9x^2 - a^2) - \ln(3x + a)) = 0 \)

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Случай 1: \( \sqrt{5-7x} = 0 \)

\( 5 - 7x = 0 \) \(\implies\) \( x = \frac{5}{7} \).

Проверим условия для аргументов логарифмов при \( x = \frac{5}{7} \):

• \( 9(\frac{5}{7})^2 - a^2 > 0 \) \(\implies\) \( 9 \cdot \frac{25}{49} - a^2 > 0 \) \(\implies\) \( \frac{225}{49} - a^2 > 0 \) \(\implies\) \( a^2 < \frac{225}{49} \) \(\implies\) \( -\frac{15}{7} < a < \frac{15}{7} \).
• \( 3(\frac{5}{7}) + a > 0 \) \(\implies\) \( \frac{15}{7} + a > 0 \) \(\implies\) \( a > -\frac{15}{7} \).

Таким образом, при \( x = \frac{5}{7} \) условие «ровно один корень» выполняется, если \( a \) удовлетворяет условиям \( -\frac{15}{7} < a < \frac{15}{7} \) и \( a > -\frac{15}{7} \). Это значит \( -\frac{15}{7} < a < \frac{15}{7} \).

Случай 2: \( \ln(9x^2 - a^2) - \ln(3x + a) = 0 \) и \( \sqrt{5-7x} \neq 0 \) (то есть \( x \neq \frac{5}{7} \))

\( \ln(9x^2 - a^2) = \ln(3x + a) \)

По свойству логарифмов:

\( 9x^2 - a^2 = 3x + a \)

\( (3x - a)(3x + a) = 3x + a \)

Перенесём всё в одну сторону:

\( (3x - a)(3x + a) - (3x + a) = 0 \)

Вынесем общий множитель \( (3x + a) \):

\( (3x + a)(3x - a - 1) = 0 \)

Это уравнение даёт два возможных случая:

Подслучай 2.1: \( 3x + a = 0 \) \(\implies\) \( x = -\frac{a}{3} \).

Подставим \( x = -\frac{a}{3} \) в условия ОДЗ:

• \( x \leq \frac{5}{7} \) \(\implies\) \( -\frac{a}{3} \leq \frac{5}{7} \) \(\implies\) \( -7a \leq 15 \) \(\implies\) \( a \geq -\frac{15}{7} \).
• \( 3x + a > 0 \) \(\implies\) \( 3(-\frac{a}{3}) + a > 0 \) \(\implies\) \( -a + a > 0 \) \(\implies\) \( 0 > 0 \), что невозможно.

Таким образом, \( 3x + a = 0 \) не даёт решений, так как нарушается условие \( 3x + a > 0 \).

Подслучай 2.2: \( 3x - a - 1 = 0 \) \(\implies\) \( 3x = a + 1 \) \(\implies\) \( x = \frac{a+1}{3} \).

Теперь подставим \( x = \frac{a+1}{3} \) в условия ОДЗ:

• \( x \leq \frac{5}{7} \) \(\implies\) \( \frac{a+1}{3} \leq \frac{5}{7} \) \(\implies\) \( 7(a+1) \leq 15 \) \(\implies\) \( 7a + 7 \leq 15 \) \(\implies\) \( 7a \leq 8 \) \(\implies\) \( a \leq \frac{8}{7} \).
• \( 3x + a > 0 \) \(\implies\) \( 3(\frac{a+1}{3}) + a > 0 \) \(\implies\) \( a + 1 + a > 0 \) \(\implies\) \( 2a + 1 > 0 \) \(\implies\) \( 2a > -1 \) \(\implies\) \( a > -\frac{1}{2} \).
• \( 9x^2 - a^2 > 0 \) \(\implies\) \( 9(\frac{a+1}{3})^2 - a^2 > 0 \) \(\implies\) \( 9\frac{(a+1)^2}{9} - a^2 > 0 \) \(\implies\) \( (a+1)^2 - a^2 > 0 \) \(\implies\) \( a^2 + 2a + 1 - a^2 > 0 \) \(\implies\) \( 2a + 1 > 0 \) \(\implies\) \( a > -\frac{1}{2} \).

Итак, для \( x = \frac{a+1}{3} \) получаем условия \( a \leq \frac{8}{7} \) и \( a > -\frac{1}{2} \). Следовательно, \( -\frac{1}{2} < a \leq \frac{8}{7} \).

3. Анализ количества корней:

Исходное уравнение имеет вид \( \sqrt{5-7x} \cdot P(x,a) = 0 \). Оно имеет ровно один корень, если:

• (1) \( \sqrt{5-7x} = 0 \) имеет один корень \( x = \frac{5}{7} \), и при этом \( \ln(9x^2 - a^2) = \ln(3x + a) \) не имеет корней, или имеет корень \( x = \frac{5}{7} \), но этот корень не удовлетворяет условиям \( 9x^2 - a^2 > 0 \) и \( 3x + a > 0 \).
• (2) \( \ln(9x^2 - a^2) = \ln(3x + a) \) имеет один корень \( x = \frac{a+1}{3} \), который удовлетворяет ОДЗ \( x < \frac{5}{7} \), \( 3x+a > 0 \), \( 9x^2-a^2 > 0 \), и при этом \( \sqrt{5-7x}=0 \) не имеет решений или \( x = \frac{5}{7} \) не является корнем.
• (3) Уравнение \( \sqrt{5-7x}=0 \) имеет один корень \( x = \frac{5}{7} \), и уравнение \( \ln(9x^2 - a^2) = \ln(3x + a) \) также имеет корень \( x = \frac{a+1}{3} \), и эти корни совпадают: \( \frac{5}{7} = \frac{a+1}{3} \), и при этом \( x = \frac{5}{7} \) удовлетворяет всем условиям ОДЗ.

Рассмотрим эти случаи подробнее:

Случай A: Корень \( x = \frac{5}{7} \) является единственным.

Мы уже выяснили, что \( x = \frac{5}{7} \) является корнем, если \( -\frac{15}{7} < a < \frac{15}{7} \).

При \( x = \frac{5}{7} \), уравнение \( \ln(9x^2 - a^2) = \ln(3x + a) \) превращается в \( \ln(\frac{225}{49} - a^2) = \ln(\frac{15}{7} + a) \).

Если \( -\frac{15}{7} < a < \frac{15}{7} \), то \( x = \frac{5}{7} \) является корнем. Для того, чтобы этот корень был единственным, уравнение \( x = \frac{a+1}{3} \) не должно давать решений, удовлетворяющих ОДЗ, или должно совпадать с \( x = \frac{5}{7} \) таким образом, чтобы нарушались условия.

Условие \( -\frac{1}{2} < a \leq \frac{8}{7} \) для \( x = \frac{a+1}{3} \) не пересекается с \( a \leq -\frac{15}{7} \) или \( a \geq \frac{15}{7} \), поэтому \( x = \frac{a+1}{3} \) не может быть корнем, если \( x = \frac{5}{7} \) — единственный корень из \( \sqrt{5-7x}=0 \).

Таким образом, \( x = \frac{5}{7} \) является единственным корнем, когда \( -\frac{15}{7} < a < \frac{15}{7} \) и \( x = \frac{a+1}{3} \) не является корнем, удовлетворяющим ОДЗ.

Это означает, что либо \( a \leq -\frac{1}{2} \) (что нарушает \( 3x+a > 0 \) и \( 9x^2-a^2 > 0 \)), либо \( a > \frac{8}{7} \) (что нарушает \( x < \frac{5}{7} \)).

Так как \( \frac{8}{7} = \frac{24}{21} \) и \( \frac{15}{7} = \frac{45}{21} \), то \( \frac{8}{7} < \frac{15}{7} \).

Если \( -\frac{1}{2} < a \leq \frac{8}{7} \), то \( x = \frac{a+1}{3} \) является корнем. В этом случае у нас будет два корня: \( x = \frac{5}{7} \) и \( x = \frac{a+1}{3} \) (если они не совпадают). Этот случай не подходит.

Если \( a > \frac{8}{7} \), то \( x = \frac{a+1}{3} \) не является корнем, удовлетворяющим ОДЗ.

Значит, \( x = \frac{5}{7} \) будет единственным корнем, если \( -\frac{15}{7} < a < \frac{15}{7} \) И ( \( a \leq -\frac{1}{2} \) ИЛИ \( a > \frac{8}{7} \) ).

Объединяя эти условия:

\( ( -\frac{15}{7} < a \leq -\frac{1}{2} ) \cup ( \frac{8}{7} < a < \frac{15}{7} ) \).

Случай B: Корень \( x = \frac{a+1}{3} \) является единственным.

Это происходит, когда \( -\frac{1}{2} < a \leq \frac{8}{7} \), и при этом \( x = \frac{5}{7} \) не является корнем.

\( x = \frac{5}{7} \) не является корнем, если \( a \leq -\frac{15}{7} \) или \( a \geq \frac{15}{7} \).

Так как \( -\frac{1}{2} > -\frac{15}{7} \) и \( \frac{8}{7} < \frac{15}{7} \), то \( x = \frac{5}{7} \) всегда не является корнем в этом диапазоне \( -\frac{1}{2} < a \leq \frac{8}{7} \).

Таким образом, \( x = \frac{a+1}{3} \) является единственным корнем, когда \( -\frac{1}{2} < a \leq \frac{8}{7} \).

Случай C: Корень \( x = \frac{5}{7} \) совпадает с корнем \( x = \frac{a+1}{3} \) и этот корень удовлетворяет ОДЗ.

\( \frac{5}{7} = \frac{a+1}{3} \) \(\implies\) \( 15 = 7(a+1) \) \(\implies\) \( 15 = 7a + 7 \) \(\implies\) \( 7a = 8 \) \(\implies\) \( a = \frac{8}{7} \).

Проверим ОДЗ при \( a = \frac{8}{7} \) и \( x = \frac{5}{7} \):

• \( x = \frac{5}{7} \leq \frac{5}{7} \) (верно).
• \( 3x + a = 3(\frac{5}{7}) + \frac{8}{7} = \frac{15+8}{7} = \frac{23}{7} > 0 \) (верно).
• \( 9x^2 - a^2 = 9(\frac{5}{7})^2 - (\frac{8}{7})^2 = 9\frac{25}{49} - \frac{64}{49} = \frac{225 - 64}{49} = \frac{161}{49} > 0 \) (верно).

Значит, при \( a = \frac{8}{7} \) оба случая дают один и тот же корень \( x = \frac{5}{7} \), и он является единственным.

Объединение результатов:

Нам нужно, чтобы уравнение имело ровно один корень. Рассмотрим два основных сценария:

1. Только \( x = \frac{5}{7} \) является корнем.

Это происходит, когда \( -\frac{15}{7} < a < \frac{15}{7} \) (чтобы \( x = \frac{5}{7} \) был корнем) И \( a \leq -\frac{1}{2} \) или \( a > \frac{8}{7} \) (чтобы \( x = \frac{a+1}{3} \) не был корнем, удовлетворяющим ОДЗ).

Объединяя эти условия: \( ( -\frac{15}{7} < a \leq -\frac{1}{2} ) \cup ( \frac{8}{7} < a < \frac{15}{7} ) \).

2. Только \( x = \frac{a+1}{3} \) является корнем.

Это происходит, когда \( -\frac{1}{2} < a \leq \frac{8}{7} \) (чтобы \( x = \frac{a+1}{3} \) был корнем, удовлетворяющим ОДЗ) И \( a \leq -\frac{15}{7} \) или \( a \geq \frac{15}{7} \) (чтобы \( x = \frac{5}{7} \) не был корнем).

Так как \( -\frac{1}{2} > -\frac{15}{7} \) и \( \frac{8}{7} < \frac{15}{7} \), то это условие невозможно.

3. Оба случая дают один и тот же корень.

Это происходит при \( a = \frac{8}{7} \). В этом случае \( x = \frac{5}{7} = \frac{a+1}{3} \) и этот корень единственный.

Итоговое объединение:

Из случая 1: \( ( -\frac{15}{7} < a \leq -\frac{1}{2} ) \cup ( \frac{8}{7} < a < \frac{15}{7} ) \).

Из случая 3: \( a = \frac{8}{7} \).

Объединяя эти два условия, получаем: \( ( -\frac{15}{7} < a \leq -\frac{1}{2} ) \cup ( \frac{8}{7} \leq a < \frac{15}{7} ) \).

Ответ: \( a \in (-\frac{15}{7}; -\frac{1}{2}] \cup [\frac{8}{7}; \frac{15}{7}) \).