1. Разрежь прямоугольный параллелепипед на две равные треугольные призмы. а) Найди объем каждой треугольной призмы, если измерения параллелепипеда 6, 8, 10 см. б) Начерти развертку треугольной призмы и найди площадь ее поверхности. Замечание. Прямоугольный треугольник с катетами 6 ед. и 8 ед. имеет гипотенузу, равную 10 ед.

Решение:

а) Объем треугольной призмы

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле: \( V_{параллелепипеда} = a \cdot b \cdot c \).
В данном случае, \( a = 6 \text{ см}, b = 8 \text{ см}, c = 10 \text{ см} \).

\( V_{параллелепипеда} = 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 480 \text{ см}^3 \).

Прямоугольный параллелепипед разрезается на две равные треугольные призмы. Следовательно, объем каждой треугольной призмы будет равен половине объема параллелепипеда.

\( V_{треугольной призмы} = \frac{V_{параллелепипеда}}{2} = \frac{480 \text{ см}^3}{2} = 240 \text{ см}^3 \).

б) Развертка и площадь поверхности треугольной призмы

Развертка треугольной призмы состоит из двух оснований (треугольников) и трех боковых граней (прямоугольников).

Основания:

Основания — это прямоугольные треугольники с катетами 6 см и 8 см. По замечанию, гипотенуза равна 10 см.

Площадь одного основания: \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot катет_1 \cdot катет_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 24 \text{ см}^2 \).

Площадь двух оснований: \( 2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot 24 \text{ см}^2 = 48 \text{ см}^2 \).

Боковые грани:

Катеты основания являются высотами боковых граней, а гипотенуза — высотой третьей грани.

• Боковая грань 1: прямоугольник со сторонами 6 см (катет) и 10 см (высота призмы, взятая из измерений параллелепипеда). Площадь: \( S_1 = 6 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 60 \text{ см}^2 \).
• Боковая грань 2: прямоугольник со сторонами 8 см (катет) и 10 см (высота призмы). Площадь: \( S_2 = 8 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 80 \text{ см}^2 \).
• Боковая грань 3: прямоугольник со сторонами 10 см (гипотенуза) и 10 см (высота призмы). Площадь: \( S_3 = 10 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2 \).

Общая площадь боковой поверхности:

\( S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3 = 60 \text{ см}^2 + 80 \text{ см}^2 + 100 \text{ см}^2 = 240 \text{ см}^2 \).

Площадь полной поверхности призмы:

\( S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 48 \text{ см}^2 + 240 \text{ см}^2 = 288 \text{ см}^2 \).

Ответ: а) Объем каждой треугольной призмы равен 240 см³. б) Площадь поверхности треугольной призмы равна 288 см².