1. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 1. 2xdy - 3ydx = 0 2xdy = 3ydx 2. x^-2dy = y^-3dx 3. dy = dx / 5y^3

1. Решение дифференциальных уравнений

1. Уравнение: \( 2xdy - 3ydx = 0 \)

1. Разделим переменные: \( \frac{dy}{y} = \frac{3dx}{2x} \)
2. Проинтегрируем обе части: \( \int \frac{dy}{y} = \int \frac{3dx}{2x} \)
3. Получим: \( \ln|y| = \frac{3}{2} \ln|x| + C \)
4. Выразим \( y \): \( \ln|y| = \ln|x^{3/2}| + C \)
5. \( y = e^{\ln|x^{3/2}| + C} = e^C \cdot x^{3/2} \)
6. Обозначим \( e^C \) как \( A \): \( y = Ax^{3/2} \)

2. Уравнение: \( x^{-2}dy = y^{-3}dx \)

1. Разделим переменные: \( y^3 dy = x^2 dx \)
2. Проинтегрируем обе части: \( \int y^3 dy = \int x^2 dx \)
3. Получим: \( \frac{y^4}{4} = \frac{x^3}{3} + C \)
4. Выразим \( y \): \( y^4 = \frac{4x^3}{3} + 4C \)
5. Обозначим \( 4C \) как \( K \): \( y^4 = \frac{4x^3}{3} + K \)

3. Уравнение: \( dy = \frac{dx}{5y^3} \)

1. Разделим переменные: \( 5y^3 dy = dx \)
2. Проинтегрируем обе части: \( \int 5y^3 dy = \int dx \)
3. Получим: \( 5 \frac{y^4}{4} = x + C \)
4. Выразим \( y \): \( \frac{5y^4}{4} = x + C \)
5. \( y^4 = \frac{4(x+C)}{5} \)