1. Решить неравенство 2x² + 5x - 12 > 0; 2. Постройте график функции y = x² - 8x + 15.

Решение:

1. Решение неравенства 2x² + 5x - 12 > 0:

1. Найдём корни квадратного уравнения \( 2x^2 + 5x - 12 = 0 \) с помощью дискриминанта.


2. Коэффициенты: \( a = 2 \), \( b = 5 \), \( c = -12 \).


3. Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 \]


4. Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 11}{4} = \frac{-16}{4} = -4 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 11}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 \]


5. Так как ветви параболы \( y = 2x^2 + 5x - 12 \) направлены вверх (коэффициент \( a = 2 > 0 \)), неравенство \( 2x^2 + 5x - 12 > 0 \) выполняется при \( x < -4 \) или \( x > 1.5 \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -4) \cup (1.5; +\infty) \).

2. Построение графика функции y = x² - 8x + 15:

1. Это график параболы, ветви которой направлены вверх (коэффициент \( a = 1 > 0 \)).


2. Найдем вершину параболы. Координата x вершины: \[ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-8)}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \] Координата y вершины: \[ y_v = 4^2 - 8 \cdot 4 + 15 = 16 - 32 + 15 = -1 \] Вершина параболы находится в точке \( (4; -1) \).


3. Найдем точки пересечения с осью OX (нули функции), решив уравнение \( x^2 - 8x + 15 = 0 \).


4. Дискриминант: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \]


5. Корни: \[ x_1 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2} = \frac{8 + 2}{2} = 5 \] Точки пересечения с осью OX: \( (3; 0) \) и \( (5; 0) \).


6. Найдем точку пересечения с осью OY (при \( x = 0 \)): \( y = 0^2 - 8 \cdot 0 + 15 = 15 \). Точка пересечения с осью OY: \( (0; 15) \).


7. Построим график, используя найденные точки: вершину \( (4; -1) \), нули функции \( (3; 0) \) и \( (5; 0) \), точку пересечения с осью OY \( (0; 15) \) и учтем симметричность параболы.

Ответ: График функции \( y = x^2 - 8x + 15 \) — парабола с вершиной в точке \( (4; -1) \), пересекающая ось OX в точках \( (3; 0) \) и \( (5; 0) \), ось OY в точке \( (0; 15) \).