1. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы:

Решение:

Для решения системы линейных уравнений методом обратной матрицы, представим систему в виде \( AX = B \), где:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 3 & 7 & 2 \\ 2 & 6 & 1 \end{pmatrix} \), \( X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Решение системы будет \( X = A^{-1}B \).

Сначала найдём определитель матрицы \( A \):

\[ \det(A) = 1(7 \cdot 1 - 2 \cdot 6) - 2(3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + (-4)(3 \cdot 6 - 7 \cdot 2) \]\[ \det(A) = 1(7 - 12) - 2(3 - 4) - 4(18 - 14) \]\[ \det(A) = -5 - 2(-1) - 4(4) \]\[ \det(A) = -5 + 2 - 16 \]\[ \det(A) = -19 \]

Так как \( \det(A) \neq 0 \), обратная матрица существует.

Найдем матрицу алгебраических дополнений:

\( C_{11} = +(7 \cdot 1 - 2 \cdot 6) = -5 \)

\( C_{12} = -(3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = -(-1) = 1 \)

\( C_{13} = +(3 \cdot 6 - 7 \cdot 2) = 18 - 14 = 4 \)

\( C_{21} = -(2 \cdot 1 - (-4) \cdot 6) = -(2 + 24) = -26 \)

\( C_{22} = +(1 \cdot 1 - (-4) \cdot 2) = 1 + 8 = 9 \)

\( C_{23} = -(1 \cdot 6 - 2 \cdot 2) = -(6 - 4) = -2 \)

\( C_{31} = +(2 \cdot 2 - (-4) \cdot 7) = 4 + 28 = 32 \)

\( C_{32} = -(1 \cdot 2 - (-4) \cdot 3) = -(2 + 12) = -14 \)

\( C_{33} = +(1 \cdot 7 - 2 \cdot 3) = 7 - 6 = 1 \)

Матрица алгебраических дополнений \( C = \begin{pmatrix} -5 & 1 & 4 \\ -26 & 9 & -2 \\ 32 & -14 & 1 \end{pmatrix} \).

Транспонируем матрицу \( C \) для получения присоединённой матрицы \( A^* \):

\( A^* = C^T = \begin{pmatrix} -5 & -26 & 32 \\ 1 & 9 & -14 \\ 4 & -2 & 1 \end{pmatrix} \).

Найдем обратную матрицу \( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^* \):

\[ A^{-1} = \frac{1}{-19} \begin{pmatrix} -5 & -26 & 32 \\ 1 & 9 & -14 \\ 4 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/19 & 26/19 & -32/19 \\ -1/19 & -9/19 & 14/19 \\ -4/19 & 2/19 & -1/19 \end{pmatrix} \]

Теперь найдем решение \( X = A^{-1}B \):

\[ X = \begin{pmatrix} 5/19 & 26/19 & -32/19 \\ -1/19 & -9/19 & 14/19 \\ -4/19 & 2/19 & -1/19 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (5/19)*1 + (26/19)*2 + (-32/19)*0 \\ (-1/19)*1 + (-9/19)*2 + (14/19)*0 \\ (-4/19)*1 + (2/19)*2 + (-1/19)*0 \end{pmatrix} \]\[ X = \begin{pmatrix} (5 + 52)/19 \\ (-1 - 18)/19 \\ (-4 + 4)/19 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 57/19 \\ -19/19 \\ 0/19 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Таким образом, \( x_1 = 3 \), \( x_2 = -1 \), \( x_3 = 0 \).

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -1, x₃ = 0.