1. Решить целые уравнения на повторение по вариантам. Вариант № 1: 1) Решите уравнение: 24x(x+1)=4x²−7. 2) Решите уравнение с помощью введения новой переменной: (x²+4)²−27(x²+4)−520=0. 3) Решите биквадратное уравнение: x⁴−2x²−8=0. 4) Решите уравнение способом группировки: x³−5x²−x+5=0. Вариант № 2: 1) Решите уравнение: 24x(x+1)=4x²−7. 2) Решите уравнение с помощью введения новой переменной: (x²+4)²−27(x²+4)−520=0. 3) Решите биквадратное уравнение: x⁴−8x²−9=0. 4) Решите уравнение способом группировки: x³+3x²−4x−12=0.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Вариант № 1

Перенесём всё в левую часть и приведём подобные слагаемые: \(24x(x+1)=4x^2-7\), откуда \(20x^2+24x+7=0\).
Дискриминант: \(D=24^2-4\cdot20\cdot7=16\). Тогда \(x=\frac{-24\pm4}{40}\).
Ответ: \(x=-\frac12; -\frac7{10}\).
Введём новую переменную: \(t=x^2+4\). Получаем \(t^2-27t-520=0\).
\(D=27^2+4\cdot520=2809=53^2\), поэтому \(t=\frac{27\pm53}{2}\), то есть \(t=40\) или \(t=-13\).
Так как \(x^2+4\ge4\), значение \(t=-13\) не подходит. При \(t=40\): \(x^2=36\), значит, \(x=\pm6\).
Ответ: \(x=-6; 6\).
Положим \(t=x^2\). Тогда \(t^2-2t-8=0\), то есть \((t-4)(t+2)=0\). Поскольку \(t=x^2\ge0\), подходит только \(t=4\). Следовательно, \(x^2=4\).
Ответ: \(x=-2; 2\).
Сгруппируем слагаемые: \(x^2(x-5)-(x-5)=0\).
Вынесем общий множитель и разложим разность квадратов: \((x-5)(x^2-1)=(x-5)(x-1)(x+1)=0\).
Ответ: \(x=-1; 1; 5\).

Вариант № 2

Это уравнение совпадает с первым уравнением варианта № 1: \(20x^2+24x+7=0\), \(D=16\).
Ответ: \(x=-\frac12; -\frac7{10}\).
Это уравнение совпадает со вторым уравнением варианта № 1. Подстановка \(t=x^2+4\) даёт \(t=40\) или \(t=-13\). Условию \(t\ge4\) соответствует только \(t=40\), откуда \(x^2=36\).
Ответ: \(x=-6; 6\).
Положим \(t=x^2\). Тогда \(t^2-8t-9=0\), откуда \((t-9)(t+1)=0\). Так как \(t\ge0\), получаем \(t=9\), следовательно, \(x=\pm3\).
Ответ: \(x=-3; 3\).
Сгруппируем слагаемые: \(x^2(x+3)-4(x+3)=0\).
Вынесем общий множитель: \((x+3)(x^2-4)=(x+3)(x-2)(x+2)=0\).
Ответ: \(x=-3; -2; 2\).

Ответ: