1. Решить уравнения: а) $\log_4(2x+3)=3$; б) $\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=1$; в) $\log_4\left(\frac{4+2x}{x-5}\right)=2$; $\log_{\sqrt{3}}x+\log_9x=10$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Решить уравнения: а) $\log_4(2x+3)=3$; б) $\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=1$; в) $\log_4\left(\frac{4+2x}{x-5}\right)=2$;…$ Фото задания

1. Решить уравнения: а) $\log_4(2x+3)=3$; б) $\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=1$; в) $\log_4\left(\frac{4+2x}{x-5}\right)=2$; $\log_{\sqrt{3}}x+\log_9x=10$.

Accepted Answer

$\log_4(2x+3)=3$. По определению логарифма: $2x+3=4^3=64$, откуда $2x=61$ и $x=\frac{61}{2}$. Область определения соблюдена: $2x+3=64>0$.
$\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=1$. ОДЗ: $x>3$. Объединяем логарифмы: $\log_2((x-2)(x-3))=1$, значит $(x-2)(x-3)=2$. Получаем $x^2-5x+4=0$, откуда $x=1$ или $x=4$. Условию ОДЗ удовлетворяет только $x=4$.
$\log_4\left(\frac{4+2x}{x-5}\right)=2$. По определению логарифма $\frac{4+2x}{x-5}=4^2=16$. Тогда $4+2x=16x-80$, $14x=84$, $x=6$. При этом аргумент логарифма равен 16 и положителен.
$\log_{\sqrt{3}}x+\log_9x=10$. Пусть $y=\log_3x$. Тогда $\log_{\sqrt{3}}x=2y$, а $\log_9x=\frac{y}{2}$. Поэтому $2y+\frac{y}{2}=10$, откуда $y=4$ и $x=3^4=81$.

Ответ: а) $x=\frac{61}{2}$; б) $x=4$; в) $x=6$; последнее уравнение: $x=81$.

1. Решить уравнения: а) \(\log_4(2x+3)=3\); б) \(\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=1\); в) \(\log_4\left(\frac{4+2x}{x-5}\right)=2\); \(\log_{\sqrt{3}}x+\log_9x=10\).

Ответ: