1. Решить задачу: Даны точки А(-4;7;3), B(2;-3;5), С(-10;3;1). Найдите периметр треугольника, площадь треугольника, его медианы и определите вид треугольника.

1. Вычисляем длины сторон треугольника:

AB = sqrt((2 - (-4))^2 + (-3 - 7)^2 + (5 - 3)^2) = sqrt(36 + 100 + 4) = sqrt(140) = 2*sqrt(35)

BC = sqrt((-10 - 2)^2 + (3 - (-3))^2 + (1 - 5)^2) = sqrt(144 + 36 + 16) = sqrt(196) = 14

AC = sqrt((-10 - (-4))^2 + (3 - 7)^2 + (1 - 3)^2) = sqrt(36 + 16 + 4) = sqrt(56) = 2*sqrt(14)

Периметр = 2*sqrt(35) + 14 + 2*sqrt(14) ≈ 11.83 + 14 + 7.48 = 33.31

2. Для нахождения площади используем формулу Герона или векторное произведение.

Вектор AB = (6, -10, 2)

Вектор AC = (-6, -4, -2)

Площадь = 0.5 * |AB x AC|

AB x AC = ((-10)*(-2) - 2*(-4), 2*(-6) - 6*(-2), 6*(-4) - (-10)*(-6)) = (20 + 8, -12 + 12, -24 - 60) = (28, 0, -84)

Площадь = 0.5 * sqrt(28^2 + 0^2 + (-84)^2) = 0.5 * sqrt(784 + 7056) = 0.5 * sqrt(7840) = 0.5 * 28 * sqrt(10) = 14*sqrt(10) ≈ 44.27

3. Находим медианы. Середина стороны BC: M_a = ((2-10)/2, (-3+3)/2, (5+1)/2) = (-4, 0, 3)

Медиана AM_a = sqrt((-4 - (-4))^2 + (0 - 7)^2 + (3 - 3)^2) = sqrt(0 + 49 + 0) = 7

Середина стороны AC: M_b = ((-4-10)/2, (7+3)/2, (3+1)/2) = (-7, 5, 2)

Медиана BM_b = sqrt((-7 - 2)^2 + (5 - (-3))^2 + (2 - 5)^2) = sqrt(81 + 64 + 9) = sqrt(154) ≈ 12.41

Середина стороны AB: M_c = ((-4+2)/2, (7-3)/2, (3+5)/2) = (-1, 2, 4)

Медиана CM_c = sqrt((-1 - (-10))^2 + (2 - 3)^2 + (4 - 1)^2) = sqrt(81 + 1 + 9) = sqrt(91) ≈ 9.54

4. Определяем вид треугольника. Проверяем теорему Пифагора.

AB^2 = 140, BC^2 = 196, AC^2 = 56

140 + 56 = 196. Следовательно, AB^2 + AC^2 = BC^2. Треугольник прямоугольный.