1. Решите неравенства: 1) \(\log_4(4-10x)<3\); 2) \(\log_{0,5}(3x-1)<-2\); 3) \(\log_5(3x-2)>\log_5(x+6)\); 4) \(\log_{15}(x-3)+\log_{15}(x-5)<1\).

1. Область определения: \(4-10x>0\), то есть \(x<\frac{2}{5}\). Поскольку основание \(4>1\), логарифмическая функция возрастает:

   \(\log_4(4-10x)<3\iff 4-10x<4^3=64\), откуда \(x>-6\).

   Объединяем условия: \(x\in\left(-6,\frac{2}{5}\right)\).

2. Область определения: \(3x-1>0\), то есть \(x>\frac{1}{3}\). Основание \(0,5\) меньше 1, поэтому функция убывает и знак неравенства при переходе к аргументам меняется:

   \(\log_{0,5}(3x-1)<-2\iff 3x-1>(0,5)^{-2}=4\).

   Следовательно, \(x>\frac{5}{3}\); это условие также удовлетворяет области определения.

3. Область определения: \(3x-2>0\) и \(x+6>0\), то есть \(x>\frac{2}{3}\). Основания логарифмов одинаковы и больше 1, поэтому сравниваем аргументы:

   \(3x-2>x+6\iff x>4\).

   Ответ: \(x\in(4,+\infty)\).

4. Область определения: \(x-3>0\) и \(x-5>0\), значит \(x>5\). По свойству логарифмов:

   \(\log_{15}((x-3)(x-5))<\log_{15}15\).

   Так как \(15>1\), получаем \((x-3)(x-5)<15\), или \(x^2-8x<0\). Отсюда \(0

Ответ: 1) \(\left(-6,\frac{2}{5}\right)\); 2) \(\left(\frac{5}{3},+\infty\right)\); 3) \((4,+\infty)\); 4) \((5,8)\).