Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 1. Решите неравенства. I вариант: 1) log₄(x − 2) < 2; 2) log₁⁄₇(4x + 1) < −2; 3) lg(2x − 3) > lg(x + 1); 4) log₀,₃(2x − 4)…Фото задания

Ответ:

I вариант

  1. Область определения: \(x>2\). Так как основание \(4>1\), получаем \(x-2<4^2=16\), то есть \(x<18\). Ответ: \((2;18)\).

  2. Область определения: \(x>-\frac14\). Основание \(\frac17<1\), поэтому знак меняется: \(4x+1>(\frac17)^{-2}=49\). Отсюда \(x>12\). Ответ: \((12; +\infty)\).

  3. Область определения: \(x>\frac32\). Логарифм возрастает, поэтому \(2x-3>x+1\), откуда \(x>4\). С учётом области определения ответ: \((4; +\infty)\).

  4. Область определения: \(x>2\). Основание \(0{,}3<1\), поэтому \(2x-4<x+1\), то есть \(x<5\). Ответ: \((2;5)\).

  5. Область определения: \(x>1\). Объединяем логарифмы: \(\lg(x(x-1))<\lg 6\), значит \(x^2-x-6<0\). Корни квадратного трёхчлена: \(-2\) и \(3\); неравенство выполняется при \(-2<x<3\). С учётом области определения ответ: \((1;3)\).

  6. Подлогарифмичное выражение положительно при всех \(x\): \(x^2-6x+24=(x-3)^2+15>0\). Так как основание \(2>1\), имеем \(x^2-6x+24<16\), или \((x-2)(x-4)<0\). Ответ: \((2;4)\).

II вариант

  1. Область определения: \(3x+1>0\). Так как основание \(5>1\), получаем \(3x+1>5^2=25\), откуда \(x>8\). Ответ: \((8; +\infty)\).

  2. Требуется \(3-2x>0\). Основание \(\frac13<1\), поэтому \(3-2x<(\frac13)^{-1}=3\). Совместно: \(0<3-2x<3\), откуда \(0<x<\frac32\). Ответ: \((0;\frac32)\).

  3. Область определения: \(x>\frac73\). Логарифм возрастает, поэтому \(3x-7<x+1\), откуда \(x<4\). Ответ: \((\frac73;4)\).

  4. Область определения: \(x>\frac74\). Основание \(0{,}5<1\), поэтому знак меняется: \(4x-7>x+2\), откуда \(x>3\). Ответ: \((3; +\infty)\).

  5. Область определения: \(x>0\). Поскольку \(\pi>1\), получаем \(\lg_{\pi}(x(x+1))<\lg_{\pi}2\), то есть \(x^2+x-2<0\). Корни: \(-2\) и \(1\); с учётом области определения ответ: \((0;1)\).

  6. Основание \(8>1\), поэтому из неравенства следует \(x^2-7x>8\). Получаем \((x-8)(x+1)>0\), откуда \(x<-1\) или \(x>8\). Эти значения также удовлетворяют области определения логарифма. Ответ: \((-\infty;-1)\cup(8;+\infty)\).