1. Решите неравенство: 2^x + 6*2^(-x) <= 7.

Решение:

Пусть \( y = 2^x \). Так как \( 2^x > 0 \) для любого \( x \), то \( y > 0 \).

Неравенство примет вид:

\( y + 6 \cdot \frac{1}{y} ≤ 7 \)

Умножим обе части на \( y \) (так как \( y > 0 \), знак неравенства не изменится):

\( y^2 + 6 ≤ 7y \)

\( y^2 - 7y + 6 ≤ 0 \)

Найдем корни квадратного трехчлена \( y^2 - 7y + 6 = 0 \):

\( D = (-7)^2 - 4 · 1 · 6 = 49 - 24 = 25 \)

\( \sqrt{D} = 5 \)

\( y_1 = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( y_2 = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

Таким образом, \( y^2 - 7y + 6 ≤ 0 \) при \( 1 ≤ y ≤ 6 \).

Теперь вернемся к замене \( y = 2^x \):

\( 1 ≤ 2^x ≤ 6 \)

Разделим на два неравенства:

1. \( 1 ≤ 2^x \)

Так как \( 1 = 2^0 \), то \( 2^0 ≤ 2^x \). Поскольку основание степени \( 2 > 1 \), то \( 0 ≤ x \).

2. \( 2^x ≤ 6 \)

Возьмем логарифм по основанию 2 от обеих частей:

\( \text{log}_2(2^x) ≤ \text{log}_2(6) \)

\( x ≤ \text{log}_2(6) \)

Объединяя оба неравенства, получаем:

\( 0 ≤ x ≤ \text{log}_2(6) \).

Заметим, что \( \text{log}_2(6) = \text{log}_2(2 · 3) = \text{log}_2(2) + \text{log}_2(3) = 1 + \text{log}_2(3) \).

Следовательно, \( 0 ≤ x ≤ 1 + \text{log}_2(3) \).

Ответ: \( [0; · \text{log}_2 6] \).