1. Решите неравенство: \(6^x - 4 \cdot 3^x - 2^x + 4 \le 0\).

Решение:

Данное неравенство можно преобразовать, используя свойства степеней:

\( 6^x = (2 · 3)^x = 2^x · 3^x \)

Подставим это в неравенство:

\[ 2^x · 3^x - 4 · 3^x - 2^x + 4 ≤ 0 \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ (2^x · 3^x - 4 · 3^x) - (2^x - 4) ≤ 0 \]

Вынесем общие множители:

\[ 3^x(2^x - 4) - 1(2^x - 4) ≤ 0 \]

Снова вынесем общий множитель \( (2^x - 4) \):

\[ (3^x - 1)(2^x - 4) ≤ 0 \]

Теперь проанализируем знаки множителей.

Первый множитель: \( 3^x - 1 \)

\( 3^x - 1 = 0 → 3^x = 1 → x = 0 \)

Если \( x < 0 \), то \( 3^x < 1 \), значит \( 3^x - 1 < 0 \).

Если \( x > 0 \), то \( 3^x > 1 \), значит \( 3^x - 1 > 0 \).

Второй множитель: \( 2^x - 4 \)

\( 2^x - 4 = 0 → 2^x = 4 → 2^x = 2^2 → x = 2 \)

Если \( x < 2 \), то \( 2^x < 4 \), значит \( 2^x - 4 < 0 \).

Если \( x > 2 \), то \( 2^x > 4 \), значит \( 2^x - 4 > 0 \).

Составим таблицу знаков для определения знака произведения \( (3^x - 1)(2^x - 4) \):

Нам нужно, чтобы произведение было \( ≤ 0 \). Из таблицы видно, что это происходит на интервале \( 0 < x < 2 \). Также нужно учесть случаи, когда множители равны нулю, то есть \( x=0 \) и \( x=2 \).

Таким образом, неравенство выполняется при \( 0 ≤ x ≤ 2 \).

Ответ: \( [0; 2] \).