1) Решите неравенство: \( \frac{x-6}{x+7} \le 0 \)

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{x-6}{x+7} \le 0 \) найдём значения \( x \), при которых числитель и знаменатель обращаются в ноль.

1. Приравняем числитель к нулю: \( x - 6 = 0 \) \(\implies\) \( x = 6 \).
2. Приравняем знаменатель к нулю: \( x + 7 = 0 \) \(\implies\) \( x = -7 \).
3. Отметим эти точки на числовой прямой. Точка \( x = 6 \) включается в решение (знак \( \le \)), а точка \( x = -7 \) не включается (знаменатель не может быть равен нулю).
4. Разделим числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -7) \), \( (-7; 6] \), \( (6; \infty) \).
5. Проверим знак выражения \( \frac{x-6}{x+7} \) в каждом интервале:
   • При \( x = -8 \) (интервал \( (-\infty; -7) \)): \( \frac{-8-6}{-8+7} = \frac{-14}{-1} = 14 > 0 \).
   • При \( x = 0 \) (интервал \( (-7; 6] \)): \( \frac{0-6}{0+7} = \frac{-6}{7} < 0 \).
   • При \( x = 7 \) (интервал \( (6; \infty) \)): \( \frac{7-6}{7+7} = \frac{1}{14} > 0 \).
6. Нам нужны значения \( x \), при которых выражение \( \le 0 \). Это интервал \( (-7; 6] \).

Ответ: \( (-7; 6] \).