1. Решите неравенство: x^2 / (x - 4) <= x

Привет! Давай разберёмся с этим неравенством. Это не так страшно, как кажется!

Неравенство:

• \[ \frac{x^2}{x - 4} \le x \]

Шаг 1: Перенесём всё в одну часть.

Чтобы решить неравенство, нужно, чтобы справа был ноль. Перенесём x налево:

• \[ \frac{x^2}{x - 4} - x \le 0 \]

Шаг 2: Приведём к общему знаменателю.

Чтобы вычесть x из дроби, представим x как дробь x/1 и приведём к знаменателю (x - 4):

• \[ \frac{x^2}{x - 4} - \frac{x(x - 4)}{x - 4} \le 0 \]

Раскроем скобки в числителе:

• \[ \frac{x^2 - (x^2 - 4x)}{x - 4} \le 0 \]
• \[ \frac{x^2 - x^2 + 4x}{x - 4} \le 0 \]
• \[ \frac{4x}{x - 4} \le 0 \]

Шаг 3: Метод интервалов.

Теперь у нас есть дробь, которая должна быть меньше или равна нулю. Это значит, что числитель и знаменатель должны иметь разные знаки (или числитель равен нулю).

Найдём корни числителя и знаменателя:

• Числитель: 4x = 0 => x = 0
• Знаменатель: x - 4 = 0 => x = 4

Эти числа (0 и 4) делят числовую ось на три интервала:

• $$(-\infty; 0]$$
• $$[0; 4)$$
• $$(4; +\infty)$$

Важно! Знаменатель никогда не может быть равен нулю, поэтому x = 4 — это «выколотая» точка (круглая скобка).

Шаг 4: Определим знаки на интервалах.

Возьмём пробные значения из каждого интервала:

• Интервал 1: x < 0 (например, x = -1). Дробь (4*(-1)) / (-1 - 4) = -4 / -5 = 4/5. Знак +.
• Интервал 2: 0 <= x < 4 (например, x = 1). Дробь (4*1) / (1 - 4) = 4 / -3. Знак -.
• Интервал 3: x > 4 (например, x = 5). Дробь (4*5) / (5 - 4) = 20 / 1. Знак +.

Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю (<= 0). Это соответствует интервалу, где знак -.

Шаг 5: Запишем ответ.

Интервал, где дробь отрицательная, — это [0; 4). Точка x = 0 включается (квадратная скобка), так как неравенство нестрогое (<=), а точка x = 4 не включается (круглая скобка), так как на ноль делить нельзя.

Ответ: [0; 4)