1. Решите однородное уравнение второй степени sin²x - 2sinxcosx = 0

Задание 1. Решение однородного уравнения второй степени

Уравнение: \( \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 0 \)

Решение:

1. Вынесем общий множитель: \( \sin x (\sin x - 2 \cos x) = 0 \)
2. Приравняем каждый множитель к нулю:
• Случай 1: \( \sin x = 0 \)
• Случай 2: \( \sin x - 2 \cos x = 0 \)
3. Решим первое уравнение:
• \( \sin x = 0 \)
• \( x = \pi k \), где \( k \) — целое число.
4. Решим второе уравнение:
• \( \sin x - 2 \cos x = 0 \)
• Разделим обе части на \( \cos x \) (при условии, что \( \cos x
  eq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), что не удовлетворяет уравнению \( \sin x = 2 \cos x \)).
• \( \frac{\sin x}{\cos x} - 2 = 0 \)
• \( \mathrm{tg} x = 2 \)
• \( x = \mathrm{arctg} 2 + \pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( x = \pi k \) и \( x = \mathrm{arctg} 2 + \pi n \), где \( k, n \) — целые числа.