1. Решите систему способом подстановки: { x + y = 5, 3x - 2y = 3. 2. Решите систему способом сложения: { 11x + 8y = 27, 5x - 16y = -27. 3. Составьте уравнение прямой y=kx+b, проходящей через точки А(1;-2) и В (-3;-10). 4. На кормление 8 лошадей и 15 коров ежедневно требуется 151 кг сена. Сколько сена необходимо для одной лошади и одной корове ежедневно, если 4 лошади получают сена на 3 кг больше, чем 7 коров? 5. Решите систему уравнений удобным для вас способом: { 12 + 3(y - 3) = 2x + 10, 8x + 20 = 10 + 2(3x + 2y).

Задание 1. Решение системы способом подстановки

Дана система уравнений:

• \( x + y = 5 \)
• \( 3x - 2y = 3 \)

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую из первого уравнения.

Из \( x + y = 5 \) выразим \( x \):

\[ x = 5 - y \]

Шаг 2: Подставим полученное выражение во второе уравнение.

\[ 3(5 - y) - 2y = 3 \]

Шаг 3: Решим полученное уравнение относительно \( y \).

\[ 15 - 3y - 2y = 3 \]

\[ 15 - 5y = 3 \]

\[ -5y = 3 - 15 \]

\[ -5y = -12 \]

\[ y = \frac{-12}{-5} = \frac{12}{5} = 2.4 \]

Шаг 4: Найдем значение \( x \), подставив значение \( y \) в выражение для \( x \).

\[ x = 5 - y = 5 - 2.4 = 2.6 \]

Ответ: \( x = 2.6, y = 2.4 \).

Задание 2. Решение системы способом сложения

Дана система уравнений:

• \( 11x + 8y = 27 \)
• \( 5x - 16y = -27 \)

Шаг 1: Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными.

\[ 2(11x + 8y) = 2(27) \]

\[ 22x + 16y = 54 \]

Шаг 2: Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы.

\[ (22x + 16y) + (5x - 16y) = 54 + (-27) \]

\[ 27x = 27 \]

Шаг 3: Найдем \( x \).

\[ x = \frac{27}{27} = 1 \]

Шаг 4: Подставим значение \( x \) в любое из исходных уравнений, чтобы найти \( y \). Используем первое уравнение.

\[ 11(1) + 8y = 27 \]

\[ 11 + 8y = 27 \]

\[ 8y = 27 - 11 \]

\[ 8y = 16 \]

\[ y = \frac{16}{8} = 2 \]

Ответ: \( x = 1, y = 2 \).

Задание 3. Составление уравнения прямой

Даны две точки: \( A(1; -2) \) и \( B(-3; -10) \). Ищем уравнение прямой вида \( y = kx + b \).

Шаг 1: Найдем угловой коэффициент \( k \).

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-10 - (-2)}{-3 - 1} = \frac{-10 + 2}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2 \]

Шаг 2: Подставим \( k \) и координаты одной из точек (например, \( A(1; -2) \)) в уравнение \( y = kx + b \) для нахождения \( b \).

\[ -2 = 2(1) + b \]

\[ -2 = 2 + b \]

\[ b = -2 - 2 = -4 \]

Шаг 3: Запишем окончательное уравнение прямой.

\[ y = 2x - 4 \]

Ответ: \( y = 2x - 4 \).

Задание 4. Задача на кормление

Дано:

• 8 лошадей и 15 коров требуют 151 кг сена ежедневно.
• 4 лошади получают на 3 кг сена больше, чем 7 коров (речь идет о ежедневной норме).

Найти: сколько сена ежедневно нужно 1 лошади и 1 корове.

Введем переменные:

• Пусть \( x \) — дневная норма сена для 1 лошади (кг).
• Пусть \( y \) — дневная норма сена для 1 коровы (кг).

Составим систему уравнений:

1. Первое условие: \( 8x + 15y = 151 \)
2. Второе условие: \( 4x = 7y + 3 \)

Шаг 1: Решим второе уравнение относительно \( x \).

\[ 4x = 7y + 3 \]

\[ x = \frac{7y + 3}{4} \]

Шаг 2: Подставим выражение для \( x \) в первое уравнение.

\[ 8\left(\frac{7y + 3}{4}\right) + 15y = 151 \]

\[ 2(7y + 3) + 15y = 151 \]

\[ 14y + 6 + 15y = 151 \]

\[ 29y + 6 = 151 \]

\[ 29y = 151 - 6 \]

\[ 29y = 145 \]

\[ y = \frac{145}{29} = 5 \]

Шаг 3: Найдем \( x \).

\[ x = \frac{7y + 3}{4} = \frac{7(5) + 3}{4} = \frac{35 + 3}{4} = \frac{38}{4} = 9.5 \]

Ответ: 1 лошади нужно 9.5 кг сена, 1 корове нужно 5 кг сена ежедневно.

Задание 5. Решение системы уравнений удобным способом

Дана система уравнений:

• \( 12 + 3(y - 3) = 2x + 10 \)
• \( 8x + 20 = 10 + 2(3x + 2y) \)

Шаг 1: Упростим оба уравнения.

Первое уравнение:

\[ 12 + 3y - 9 = 2x + 10 \]

\[ 3 + 3y = 2x + 10 \]

\[ 3y - 2x = 10 - 3 \]

\[ -2x + 3y = 7 \]

Второе уравнение:

\[ 8x + 20 = 10 + 6x + 4y \]

\[ 8x - 6x - 4y = 10 - 20 \]

\[ 2x - 4y = -10 \]

Разделим второе упрощенное уравнение на 2:

\[ x - 2y = -5 \]

Шаг 2: Теперь у нас есть более простая система:

• \( -2x + 3y = 7 \)
• \( x - 2y = -5 \)

Решим методом подстановки. Из второго уравнения выразим \( x \):

\[ x = 2y - 5 \]

Шаг 3: Подставим выражение для \( x \) в первое уравнение.

\[ -2(2y - 5) + 3y = 7 \]

\[ -4y + 10 + 3y = 7 \]

\[ -y + 10 = 7 \]

\[ -y = 7 - 10 \]

\[ -y = -3 \]

\[ y = 3 \]

Шаг 4: Найдем \( x \).

\[ x = 2y - 5 = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1 \]

Ответ: \( x = 1, y = 3 \).