1. Решите систему уравнений: a) \(\begin{cases} 12x + y = 17 \\ 5x - 7y = 0 \end{cases}\) b) \(\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 9x + 2y = 16 \end{cases}\) c) \(\begin{cases} 3x - 5y = 11 \\ 4x + 7y = 6 \end{cases}\) d) \(\begin{cases} 2 - 3x = 2(1-y) \\ 4(x + y) = x - 1,5 \end{cases}\) e) \(\begin{cases} 3(x+1) + 3y = 15 \\ 2x - 3(2y+1) = 2y - 2 \end{cases}\) 2. Решите систему уравнений: 1) \(\begin{cases} \frac{x-1}{3} + \frac{y-1}{2} = 2 \\ \frac{x-1}{2} - \frac{y-1}{5} = \frac{3}{5} \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} \frac{2a+1}{7} + \frac{2b+2}{5} = 1 \\ \frac{3a-2}{5} + \frac{b+4}{4} = 4 \end{cases}\)

Решение:

1. Решение систем уравнений:

1. a) \(\begin{cases} 12x + y = 17 \\ 5x - 7y = 0 \end{cases}\)
   Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 5x \).
   Подставим в первое уравнение: \( 12x + 5x = 17 \)
   \( 17x = 17 \)
   \( x = 1 \)
   Теперь найдём \( y \): \( y = 5 \cdot 1 = 5 \).
   Ответ: (1; 5)
2. б) \(\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 9x + 2y = 16 \end{cases}\)
   Умножим первое уравнение на 9: \( 9x + 27y = 45 \).
   Вычтем второе уравнение: \( (9x + 27y) - (9x + 2y) = 45 - 16 \)
   \( 25y = 29 \)
   \( y = \frac{29}{25} = 1.16 \).
   Подставим \( y \) в первое уравнение: \( x + 3 \cdot \frac{29}{25} = 5 \)
   \( x + \frac{87}{25} = 5 \)
   \( x = 5 - \frac{87}{25} = \frac{125 - 87}{25} = \frac{38}{25} = 1.52 \).
   Ответ: (1.52; 1.16)
3. в) \(\begin{cases} 3x - 5y = 11 \\ 4x + 7y = 6 \end{cases}\)
   Умножим первое уравнение на 4, второе на 3: \(\begin{cases} 12x - 20y = 44 \\ 12x + 21y = 18 \end{cases}\)
   Вычтем из первого уравнения второе: \( (12x - 20y) - (12x + 21y) = 44 - 18 \)
   \( -41y = 26 \)
   \( y = -\frac{26}{41} \).
   Подставим \( y \) в первое уравнение: \( 3x - 5(-\frac{26}{41}) = 11 \)
   \( 3x + \frac{130}{41} = 11 \)
   \( 3x = 11 - \frac{130}{41} = \frac{451 - 130}{41} = \frac{321}{41} \)
   \( x = \frac{321}{41 \cdot 3} = \frac{107}{41} \).
   Ответ: (\(\frac{107}{41}\); -\(\frac{26}{41}\))
4. г) \(\begin{cases} 2 - 3x = 2(1-y) \\ 4(x + y) = x - 1,5 \end{cases}\)
   Раскроем скобки: \(\begin{cases} 2 - 3x = 2 - 2y \\ 4x + 4y = x - 1,5 \end{cases}\)
   Упростим: \(\begin{cases} -3x + 2y = 0 \\ 3x + 4y = -1,5 \end{cases}\)
   Сложим уравнения: \( (-3x + 2y) + (3x + 4y) = 0 - 1,5 \)
   \( 6y = -1,5 \)
   \( y = -\frac{1,5}{6} = -0.25 \).
   Подставим \( y \) в первое уравнение: \( -3x + 2(-0.25) = 0 \)
   \( -3x - 0.5 = 0 \)
   \( -3x = 0.5 \)
   \( x = -\frac{0.5}{3} = -\frac{1}{6} \).
   Ответ: (-1/6; -0.25)
5. д) \(\begin{cases} 3(x+1) + 3y = 15 \\ 2x - 3(2y+1) = 2y - 2 \end{cases}\)
   Раскроем скобки: \(\begin{cases} 3x + 3 + 3y = 15 \\ 2x - 6y - 3 = 2y - 2 \end{cases}\)
   Упростим: \(\begin{cases} 3x + 3y = 12 \\ 2x - 8y = 1 \end{cases}\)
   Разделим первое уравнение на 3: \( x + y = 4 \) \( \Rightarrow \) \( x = 4 - y \).
   Подставим во второе уравнение: \( 2(4 - y) - 8y = 1 \)
   \( 8 - 2y - 8y = 1 \)
   \( 8 - 10y = 1 \)
   \( -10y = -7 \)
   \( y = 0.7 \).
   Найдём \( x \): \( x = 4 - 0.7 = 3.3 \).
   Ответ: (3.3; 0.7)

2. Решение систем уравнений:

1. 1) \(\begin{cases} \frac{x-1}{3} + \frac{y-1}{2} = 2 \\ \frac{x-1}{2} - \frac{y-1}{5} = \frac{3}{5} \end{cases}\)
   Умножим первое уравнение на 6, второе на 10:
   \(\begin{cases} 2(x-1) + 3(y-1) = 12 \\ 5(x-1) - 2(y-1) = 6 \end{cases}\)
   Раскроем скобки:
   \(\begin{cases} 2x - 2 + 3y - 3 = 12 \\ 5x - 5 - 2y + 2 = 6 \end{cases}\)
   Упростим:
   \(\begin{cases} 2x + 3y = 17 \\ 5x - 2y = 9 \end{cases}\)
   Умножим первое уравнение на 5, второе на 2:
   \(\begin{cases} 10x + 15y = 85 \\ 10x - 4y = 18 \end{cases}\)
   Вычтем второе уравнение из первого:
   \( (10x + 15y) - (10x - 4y) = 85 - 18 \)
   \( 19y = 67 \)
   \( y = \frac{67}{19} \).
   Подставим \( y \) в первое уравнение \( 2x + 3y = 17 \):
   \( 2x + 3 \cdot \frac{67}{19} = 17 \)
   \( 2x + \frac{201}{19} = 17 \)
   \( 2x = 17 - \frac{201}{19} = \frac{323 - 201}{19} = \frac{122}{19} \)
   \( x = \frac{122}{19 \cdot 2} = \frac{61}{19} \).
   Ответ: (\(\frac{61}{19}\); \(\frac{67}{19}\))
2. 2) \(\begin{cases} \frac{2a+1}{7} + \frac{2b+2}{5} = 1 \\ \frac{3a-2}{5} + \frac{b+4}{4} = 4 \end{cases}\)
   Умножим первое уравнение на 35, второе на 20:
   \(\begin{cases} 5(2a+1) + 7(2b+2) = 35 \\ 4(3a-2) + 5(b+4) = 80 \end{cases}\)
   Раскроем скобки:
   \(\begin{cases} 10a + 5 + 14b + 14 = 35 \\ 12a - 8 + 5b + 20 = 80 \end{cases}\)
   Упростим:
   \(\begin{cases} 10a + 14b = 16 \\ 12a + 5b = 68 \end{cases}\)
   Разделим первое уравнение на 2:
   \( 5a + 7b = 8 \) \( \Rightarrow \) \( 5a = 8 - 7b \) \( \Rightarrow \) \( a = \frac{8 - 7b}{5} \).
   Подставим во второе уравнение \( 12a + 5b = 68 \):
   \( 12(\frac{8 - 7b}{5}) + 5b = 68 \)
   \( \frac{96 - 84b}{5} + 5b = 68 \)
   Умножим на 5:
   \( 96 - 84b + 25b = 340 \)
   \( 96 - 59b = 340 \)
   \( -59b = 340 - 96 \)
   \( -59b = 244 \)
   \( b = -\frac{244}{59} \).
   Найдём \( a \):
   \( a = \frac{8 - 7(-\frac{244}{59})}{5} = \frac{8 + \frac{1708}{59}}{5} = \frac{\frac{472 + 1708}{59}}{5} = \frac{\frac{2180}{59}}{5} = \frac{2180}{59 \cdot 5} = \frac{436}{59} \).
   Ответ: (\(\frac{436}{59}\); -\(\frac{244}{59}\))