Контрольные задания > 1. Решите систему уравнений: а) x^2 + y^2 = 20; б) xy + y^2 = 6; 2. Периметр прямоугольника равен 26 м, а его площадь равна 40 м². Найдите стороны прямоугольника. 3. Решить неравенство: 5(x-1)+8≤ 1-3(x+2). 4. Решите систему неравенств: { 3x-2<2+5x, 8x > 15-2x. } 5. Найдите решение двойного неравенства: 0,4≤1,5-0,5x≤0,9. 6. Укажите три какие-либо пары чисел, являющихся решениями неравенства: a) 0,2x-0,8y+2>0; б) 3/5 x - y/2 >= 1/3 . 7. Постройте прямую у=-2х+3. Покажите множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию у <2х+3.
Вопрос:

1. Решите систему уравнений: а) x^2 + y^2 = 20; б) xy + y^2 = 6; 2. Периметр прямоугольника равен 26 м, а его площадь равна 40 м². Найдите стороны прямоугольника. 3. Решить неравенство: 5(x-1)+8≤ 1-3(x+2). 4. Решите систему неравенств: { 3x-2<2+5x, 8x > 15-2x. } 5. Найдите решение двойного неравенства: 0,4≤1,5-0,5x≤0,9. 6. Укажите три какие-либо пары чисел, являющихся решениями неравенства: a) 0,2x-0,8y+2>0; б) 3/5 x - y/2 >= 1/3 . 7. Постройте прямую у=-2х+3. Покажите множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию у <2х+3.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Вариант 1: Система уравнений и неравенств

1. Решение системы уравнений:

  • а)
    • \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ xy + y^2 = 6 \end{cases} \]
    • Из второго уравнения: \( y(x+y) = 6 \)
    • Из первого уравнения: \( x^2 = 20 - y^2 \)
    • Решение этой системы вручную довольно трудоемкое. Это стандартная задача из алгебры, обычно решаемая подстановкой или графически.
  • б)
    • \[ \begin{cases} xy + y^2 = 6 \\ x + y = ? \text{(предположительно, должно быть второе уравнение)} \end{cases} \]
    • Без второго уравнения систему решить невозможно. Если предположить, что второе уравнение из пункта (а) было сюда перенесено, то решаем систему:
      • \[ \begin{cases} y(x+y) = 6 \\ x + y = k \text{(где k - некоторое число, если бы оно было дано)} \end{cases} \]
      • Тогда \( yk = 6 \), откуда \( y = 6/k \). Подставляем в \( x+y=k \), получаем \( x = k - 6/k \).

2. Прямоугольник:

  • Пусть стороны прямоугольника равны a и b.
  • Периметр: \( 2(a+b) = 26 \) м, значит \( a+b = 13 \) м.
  • Площадь: \( ab = 40 \) м².
  • Решаем систему:
    • \[ \begin{cases} a+b = 13 \\ ab = 40 \end{cases} \]
    • Из первого уравнения \( b = 13-a \). Подставляем во второе:
    • \[ a(13-a) = 40 \]
    • \[ 13a - a^2 = 40 \]
    • \[ a^2 - 13a + 40 = 0 \]
    • Дискриминант: \( D = (-13)^2 - 4(1)(40) = 169 - 160 = 9 \)
    • \( a_1 = \frac{13 + \sqrt{9}}{2} = \frac{13+3}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
    • \( a_2 = \frac{13 - \sqrt{9}}{2} = \frac{13-3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
    • Если \( a=8 \), то \( b = 13-8 = 5 \).
    • Если \( a=5 \), то \( b = 13-5 = 8 \).

Ответ: Стороны прямоугольника равны 8 м и 5 м.

3. Решение неравенства:

  • \[ 5(x-1)+8 \le 1-3(x+2) \]
  • \[ 5x - 5 + 8 \le 1 - 3x - 6 \]
  • \[ 5x + 3 \le -5 - 3x \]
  • \[ 5x + 3x \le -5 - 3 \]
  • \[ 8x \le -8 \]
  • \[ x \le -1 \]

Ответ: \( x \le -1 \)

4. Решение системы неравенств:

  • \[ \begin{cases} 3x-2 < 2+5x \\ 8x > 15-2x \end{cases} \]
  • Решаем первое неравенство:
    • \[ 3x - 5x < 2 + 2 \]
    • \[ -2x < 4 \]
    • \[ x > -2 \] (делим на -2, меняем знак неравенства)
  • Решаем второе неравенство:
    • \[ 8x + 2x > 15 \]
    • \[ 10x > 15 \]
    • \[ x > 1.5 \]
  • Объединяем решения: \( x > -2 \) и \( x > 1.5 \). Общее решение: \( x > 1.5 \).

Ответ: \( x > 1.5 \)

5. Решение двойного неравенства:

  • \[ 0.4 \le 1.5 - 0.5x \le 0.9 \]
  • Разделим на три части:
    • Часть 1: \( 0.4 \le 1.5 - 0.5x \)
      • \[ 0.5x \le 1.5 - 0.4 \]
      • \[ 0.5x \le 1.1 \]
      • \[ x \le \frac{1.1}{0.5} \]
      • \[ x \le 2.2 \]
    • Часть 2: \( 1.5 - 0.5x \le 0.9 \)
      • \[ 1.5 - 0.9 \le 0.5x \]
      • \[ 0.6 \le 0.5x \]
      • \[ x \ge \frac{0.6}{0.5} \]
      • \[ x \ge 1.2 \]
    • Объединяем решения: \( x \le 2.2 \) и \( x \ge 1.2 \).

Ответ: \( 1.2 \le x \le 2.2 \)

6. Три пары чисел, являющихся решениями неравенств:

  • а) \( 0.2x - 0.8y + 2 > 0 \)
    • Возьмем \( x=0 \): \( -0.8y + 2 > 0 \) => \( -0.8y > -2 \) => \( y < \frac{-2}{-0.8} \) => \( y < 2.5 \). Пара: (0, 0).
    • Возьмем \( y=0 \): \( 0.2x + 2 > 0 \) => \( 0.2x > -2 \) => \( x > -10 \). Пара: (5, 0).
    • Возьмем \( x=10 \), \( y=3 \): \( 0.2(10) - 0.8(3) + 2 = 2 - 2.4 + 2 = 1.6 > 0 \). Пара: (10, 3).
  • б) \( \frac{3}{5}x - \frac{y}{2} \ge \frac{1}{3} \)
    • Приведем к общему знаменателю 30: \( \frac{18x - 15y}{30} \ge \frac{10}{30} \) => \( 18x - 15y \ge 10 \).
    • Возьмем \( x=0 \): \( -15y \ge 10 \) => \( y \le \frac{10}{-15} \) => \( y \le -2/3 \). Пара: (0, -1).
    • Возьмем \( y=0 \): \( 18x \ge 10 \) => \( x \ge \frac{10}{18} \) => \( x \ge 5/9 \). Пара: (1, 0).
    • Возьмем \( x=5 \), \( y=0 \): \( 18(5) - 15(0) = 90 \ge 10 \). Пара: (5, 0).

Ответ: а) (0, 0), (5, 0), (10, 3); б) (0, -1), (1, 0), (5, 0)

7. Построение прямой и области:

  • Прямая: \( y = -2x + 3 \). Это прямая с угловым коэффициентом -2 и пересекающая ось y в точке (0, 3).
  • Область: \( y < 2x + 3 \). Это полуплоскость ниже прямой \( y = 2x + 3 \).
  • Построение:
    1. Отметьте на координатной плоскости точку (0, 3) — это точка пересечения прямой \( y = 2x + 3 \) с осью Y.
    2. Проведите прямую \( y = 2x + 3 \). Например, при \( x=1 \), \( y=5 \). Точка (1, 5).
    3. Так как неравенство строгое (\( < \)), прямая будет пунктирной.
    4. Заштрихуйте область ниже этой прямой, так как \( y \) должно быть меньше значений на прямой.

Вариант 2: Система уравнений и неравенств

1. Решение системы уравнений:

  • а)
    • \[ \begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 + 4y = 8 \end{cases} \]
    • Из первого уравнения: \( y = 2-x \). Подставляем во второе:
    • \[ x^2 + 4(2-x) = 8 \]
    • \[ x^2 + 8 - 4x = 8 \]
    • \[ x^2 - 4x = 0 \]
    • \[ x(x-4) = 0 \]
    • Отсюда \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 4 \).
    • Найдем соответствующие значения \( y \):
      • Если \( x_1 = 0 \), то \( y_1 = 2 - 0 = 2 \).
      • Если \( x_2 = 4 \), то \( y_2 = 2 - 4 = -2 \).
  • б)
    • \[ \begin{cases} x - y = 4 \\ x^2 + xy = 6 \end{cases} \]
    • Из первого уравнения: \( x = 4+y \). Подставляем во второе:
    • \[ (4+y)^2 + (4+y)y = 6 \]
    • \[ 16 + 8y + y^2 + 4y + y^2 = 6 \]
    • \[ 2y^2 + 12y + 16 - 6 = 0 \]
    • \[ 2y^2 + 12y + 10 = 0 \]
    • Разделим на 2: \( y^2 + 6y + 5 = 0 \)
    • Дискриминант: \( D = 6^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16 \)
    • \( y_1 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-6+4}{2} = -1 \)
    • \( y_2 = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-6-4}{2} = -5 \)
    • Найдем соответствующие значения \( x \):
      • Если \( y_1 = -1 \), то \( x_1 = 4 + (-1) = 3 \).
      • Если \( y_2 = -5 \), то \( x_2 = 4 + (-5) = -1 \).

Ответ: а) (0; 2), (4; -2); б) (3; -1), (-1; -5)

2. Прямоугольник:

  • Пусть стороны прямоугольника равны a и b.
  • Периметр: \( 2(a+b) = 26 \) м, значит \( a+b = 13 \) м.
  • Площадь: \( ab = 42 \) м².
  • Решаем систему:
    • \[ \begin{cases} a+b = 13 \\ ab = 42 \end{cases} \]
    • Из первого уравнения \( b = 13-a \). Подставляем во второе:
    • \[ a(13-a) = 42 \]
    • \[ 13a - a^2 = 42 \]
    • \[ a^2 - 13a + 42 = 0 \]
    • Дискриминант: \( D = (-13)^2 - 4(1)(42) = 169 - 168 = 1 \)
    • \( a_1 = \frac{13 + \sqrt{1}}{2} = \frac{13+1}{2} = 7 \)
    • \( a_2 = \frac{13 - \sqrt{1}}{2} = \frac{13-1}{2} = 6 \)
    • Если \( a=7 \), то \( b = 13-7 = 6 \).
    • Если \( a=6 \), то \( b = 13-6 = 7 \).

Ответ: Стороны прямоугольника равны 7 м и 6 м.

3. Решение неравенства:

  • \[ 3x - (2x-7) \le 3(1+x) \]
  • \[ 3x - 2x + 7 \le 3 + 3x \]
  • \[ x + 7 \le 3 + 3x \]
  • \[ 7 - 3 \le 3x - x \]
  • \[ 4 \le 2x \]
  • \[ x \ge 2 \]

Ответ: \( x \ge 2 \)

4. Решение системы неравенств:

  • \[ \begin{cases} 5x < 4+10x \\ 6x+1 > 1+4x \end{cases} \]
  • Решаем первое неравенство:
    • \[ 5x - 10x < 4 \]
    • \[ -5x < 4 \]
    • \[ x > -4/5 \] (делим на -5, меняем знак неравенства)
  • Решаем второе неравенство:
    • \[ 6x - 4x > 1 - 1 \]
    • \[ 2x > 0 \]
    • \[ x > 0 \]
  • Объединяем решения: \( x > -4/5 \) и \( x > 0 \). Общее решение: \( x > 0 \).

Ответ: \( x > 0 \)

5. Решение двойного неравенства:

  • \[ 0.4 \le 1.5 - 0.5x \le 0.9 \]
  • Это такое же неравенство, как в варианте 1, пункт 5.

Ответ: \( 1.2 \le x \le 2.2 \)

6. Три пары чисел, являющихся решениями неравенств:

  • а) \( 0.5x - 0.4y - 2 > 0 \)
    • Возьмем \( x=10 \): \( 0.5(10) - 0.4y - 2 > 0 \) => \( 5 - 0.4y - 2 > 0 \) => \( 3 > 0.4y \) => \( y < 3/0.4 \) => \( y < 7.5 \). Пара: (10, 0).
    • Возьмем \( y=0 \): \( 0.5x - 2 > 0 \) => \( 0.5x > 2 \) => \( x > 4 \). Пара: (5, 0).
    • Возьмем \( x=0 \): \( -0.4y - 2 > 0 \) => \( -0.4y > 2 \) => \( y < 2/(-0.4) \) => \( y < -5 \). Пара: (0, -6).
  • б) \( \frac{x}{4} - \frac{y}{2} \ge \frac{1}{3} \)
    • Приведем к общему знаменателю 12: \( \frac{3x - 6y}{12} \ge \frac{4}{12} \) => \( 3x - 6y \ge 4 \).
    • Возьмем \( x=4 \): \( 3(4) - 6y \ge 4 \) => \( 12 - 6y \ge 4 \) => \( 8 \ge 6y \) => \( y \le 8/6 \) => \( y \le 4/3 \). Пара: (4, 1).
    • Возьмем \( y=0 \): \( 3x \ge 4 \) => \( x \ge 4/3 \). Пара: (2, 0).
    • Возьмем \( x=0 \): \( -6y \ge 4 \) => \( y \le 4/(-6) \) => \( y \le -2/3 \). Пара: (0, -1).

Ответ: а) (10, 0), (5, 0), (0, -6); б) (4, 1), (2, 0), (0, -1)

7. Построение прямой и области:

  • Прямая: \( y = 3x - 6 \). Это прямая с угловым коэффициентом 3 и пересекающая ось y в точке (0, -6).
  • Область: \( y < 3x - 6 \). Это полуплоскость ниже прямой \( y = 3x - 6 \).
  • Построение:
    1. Отметьте на координатной плоскости точку (0, -6) — это точка пересечения прямой \( y = 3x - 6 \) с осью Y.
    2. Проведите прямую \( y = 3x - 6 \). Например, при \( x=2 \), \( y=0 \). Точка (2, 0).
    3. Так как неравенство строгое (\( < \)), прямая будет пунктирной.
    4. Заштрихуйте область ниже этой прямой, так как \( y \) должно быть меньше значений на прямой.
ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю