1. Решите систему уравнений с двумя переменными способом сложения a) y=2x+5, 2x + 3y = 31; б) 5x-7y=-24, x = −3y + 4; в) 2x + 5y = -8, 2x + 3y = -4; 2) -3x +7 y = 29, 6x+5y = 13;

Решение:

а) Система уравнений:

• \[ \begin{cases} y = 2x + 5 \\ 2x + 3y = 31 \end{cases} \]

Шаг 1: Умножим первое уравнение на -3, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:

• \[ -3(y) = -3(2x + 5) \]
• \[ -3y = -6x - 15 \]

Шаг 2: Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

• \[ (-3y) + (2x + 3y) = (-6x - 15) + 31 \]
• \[ 2x = -6x + 16 \]

Шаг 3: Решим полученное уравнение относительно x:

• \[ 2x + 6x = 16 \]
• \[ 8x = 16 \]
• \[ x = \frac{16}{8} \]
• \[ x = 2 \]

Шаг 4: Подставим значение x в первое уравнение системы, чтобы найти y:

• \[ y = 2(2) + 5 \]
• \[ y = 4 + 5 \]
• \[ y = 9 \]

Ответ а): x = 2, y = 9

б) Система уравнений:

• \[ \begin{cases} 5x - 7y = -24 \\ x = -3y + 4 \end{cases} \]

Шаг 1: Подставим выражение для x из второго уравнения в первое:

• \[ 5(-3y + 4) - 7y = -24 \]

Шаг 2: Раскроем скобки и решим уравнение относительно y:

• \[ -15y + 20 - 7y = -24 \]
• \[ -22y = -24 - 20 \]
• \[ -22y = -44 \]
• \[ y = \frac{-44}{-22} \]
• \[ y = 2 \]

Шаг 3: Подставим значение y во второе уравнение системы, чтобы найти x:

• \[ x = -3(2) + 4 \]
• \[ x = -6 + 4 \]
• \[ x = -2 \]

Ответ б): x = -2, y = 2

в) Система уравнений:

• \[ \begin{cases} 2x + 5y = -8 \\ 2x + 3y = -4 \end{cases} \]

Шаг 1: Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить x:

• \[ (2x + 5y) - (2x + 3y) = -8 - (-4) \]
• \[ 2x + 5y - 2x - 3y = -8 + 4 \]
• \[ 2y = -4 \]

Шаг 2: Решим полученное уравнение относительно y:

• \[ y = \frac{-4}{2} \]
• \[ y = -2 \]

Шаг 3: Подставим значение y во второе уравнение системы, чтобы найти x:

• \[ 2x + 3(-2) = -4 \]
• \[ 2x - 6 = -4 \]
• \[ 2x = -4 + 6 \]
• \[ 2x = 2 \]
• \[ x = 1 \]

Ответ в): x = 1, y = -2

2) Система уравнений:

• \[ \begin{cases} -3x + 7y = 29 \\ 6x + 5y = 13 \end{cases} \]

Шаг 1: Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при x стали противоположными:

• \[ 2(-3x + 7y) = 2(29) \]
• \[ -6x + 14y = 58 \]

Шаг 2: Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

• \[ (-6x + 14y) + (6x + 5y) = 58 + 13 \]
• \[ 19y = 71 \]

Шаг 3: Решим полученное уравнение относительно y:

• \[ y = \frac{71}{19} \]

Шаг 4: Подставим значение y во второе уравнение системы, чтобы найти x:

• \[ 6x + 5\left(\frac{71}{19}\right) = 13 \]
• \[ 6x + \frac{355}{19} = 13 \]
• \[ 6x = 13 - \frac{355}{19} \]
• \[ 6x = \frac{13 \times 19 - 355}{19} \]
• \[ 6x = \frac{247 - 355}{19} \]
• \[ 6x = \frac{-108}{19} \]
• \[ x = \frac{-108}{19 \times 6} \]
• \[ x = \frac{-18}{19} \]

Ответ 2): x = -\frac{18}{19}, y = \frac{71}{19}