1. Решите треугольник ABC, если: а) ∠C = 87°, a = 32, b = 45; б) ∠A = 132°, ∠C = 24°, c = 14; в) a = 6, b = 6, c = 6√3.

Используем стандартные обозначения: стороны a, b, c лежат напротив углов A, B, C соответственно.

а) По теореме косинусов найдём сторону c:

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=32^2+45^2-2\cdot32\cdot45\cos87^\circ\approx2898.27\), поэтому \(c\approx53.84\).

По теореме синусов \(\sin A=\frac{a\sin C}{c}\approx0.5940\), откуда \(A\approx36.45^\circ\). Тогда \(B=180^\circ-87^\circ-36.45^\circ\approx56.55^\circ\).

б) Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \(B=180^\circ-132^\circ-24^\circ=24^\circ\). Так как \(B=C\), то противоположные им стороны равны: \(b=c=14\). По теореме синусов \(a=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{14\sin132^\circ}{\sin24^\circ}\approx25.58\).

в) По теореме косинусов для угла \(C\): \(\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{36+36-108}{72}=-\frac12\), следовательно, \(C=120^\circ\). Поскольку \(a=b\), углы напротив них равны: \(A=B=(180^\circ-120^\circ)/2=30^\circ\).

Ответ: а) \(c\approx53.84\), \(A\approx36.45^\circ\), \(B\approx56.55^\circ\); б) \(a\approx25.58\), \(b=14\), \(B=24^\circ\); в) \(A=B=30^\circ\), \(C=120^\circ\).