1. Решите уравнение: 1) а) (x² + 3x)/2 + (x − 3x²)/8 = 2x; б) (2x + 1)/3 − (4x − x²)/12 = (x² − 4)/9; 2) а) x²/(3 − x) = 2x/(3 − x); в) (x² + 3x)/(x − 4) = (x² − x)/(4 − x); б) (x² − 1)/(x + 5) = (5 − x)/(x + 5); г) (x² − 6x)/(3x − 1) = (3x − 4)/(1 − 3x); 3) а) (2x + 3)/(x + 2) = (3x + 2)/x; в) (4x + 1)/(x − 3) = (3x − 8)/(x + 1); б) (y + 3)/(y − 3) = (2y + 3)/y; г) (5y − 2)/(2y + 1) = (3y + 2)/(y + 3); 4) а) (4x² − 11x − 3)/(3 − x) = 0; в) (2y² + 5y + 2)/(y² − 4) = 1; д) (9x + 3)/(1 + 3x) = x − 7; б) (2x² + x − 1)/(2x − 1) = 2; г) 3/(x − 2) = 2x + 1.

1)

а) Умножим на 8: \(4x^2+12x+x-3x^2=16x\), откуда \(x^2-3x=0\), то есть \(x(x-3)=0\). Ответ: \(x=0;\ 3\).

б) Область допустимых значений: \(x\in\mathbb R\). Умножим на 36: \(12(2x+1)-3(4x-x^2)=4(x^2-4)\). Получаем \(x^2-12x-28=0\), откуда \((x-14)(x+2)=0\). Ответ: \(x=-2;\ 14\).

2)

а) \(x\ne3\). При одинаковых ненулевых знаменателях \(x^2=2x\), значит \(x(x-2)=0\). Ответ: \(x=0;\ 2\).

в) \(x\ne4\), причём \(4-x=-(x-4)\). Поэтому \(x^2+3x=-(x^2-x)\), откуда \(2x(x+1)=0\). Ответ: \(x=-1;\ 0\).

б) \(x\ne-5\). Сокращаем одинаковые знаменатели: \(x^2-1=5-x\), то есть \((x+3)(x-2)=0\). Ответ: \(x=-3;\ 2\).

г) \(x\ne\frac13\), причём \(1-3x=-(3x-1)\). Тогда \(x^2-6x=4-3x\), откуда \((x-4)(x+1)=0\). Ответ: \(x=-1;\ 4\).

3)

а) \(x\ne-2,0\). Перемножим крест-накрест: \(x(2x+3)=(x+2)(3x+2)\). Получаем \(x^2+5x+4=0\), то есть \((x+1)(x+4)=0\). Ответ: \(x=-4;\ -1\).

в) \(x\ne3,-1\). Перемножим крест-накрест: \((4x+1)(x+1)=(3x-8)(x-3)\). Получаем \(x^2+22x-23=0=(x-1)(x+23)\). Ответ: \(x=-23;\ 1\).

б) \(y\ne3,0\). Перемножим крест-накрест: \(y(y+3)=(y-3)(2y+3)\), поэтому \(y^2-6y-9=0\). Ответ: \(y=3-3\sqrt2;\ 3+3\sqrt2\).

г) \(y\ne-\frac12,-3\). Перемножим крест-накрест: \((5y-2)(y+3)=(3y+2)(2y+1)\). Получаем \(y^2-6y+8=0\), то есть \((y-2)(y-4)=0\). Ответ: \(y=2;\ 4\).

4)

а) \(x\ne3\). Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: \(4x^2-11x-3=0\). Корни: \(3\) и \(-\frac14\); значение \(3\) не входит в ОДЗ. Ответ: \(x=-\frac14\).

в) \(y\ne-2,2\). Приравняем числитель знаменателю: \(2y^2+5y+2=y^2-4\), откуда \((y+2)(y+3)=0\). Значение \(-2\) исключаем по ОДЗ. Ответ: \(y=-3\).

д) \(x\ne-\frac13\). Левая часть равна \(3\), так как \(9x+3=3(1+3x)\). Тогда \(3=x-7\). Ответ: \(x=10\).

б) \(x\ne\frac12\). Умножим на \(2x-1\): \(2x^2+x-1=4x-2\), откуда \((2x-1)(x-1)=0\). Значение \(\frac12\) исключаем. Ответ: \(x=1\).

г) \(x\ne2\). Умножим на \(x-2\): \(3=(2x+1)(x-2)\), то есть \(2x^2-3x-5=0\). Корни \(\frac52\) и \(-1\), оба допустимы. Ответ: \(x=-1;\ \frac52\).