1. Решите уравнение 1/x^2 + 2/x - 3 = 0.

Решение:

1. Это дробно-рациональное уравнение. Для начала приведём его к общему знаменателю \( x^2 \).
2. Умножим каждый член уравнения на \( x^2 \), чтобы избавиться от знаменателей: \( \frac{1}{x^2} \cdot x^2 + \frac{2}{x} \cdot x^2 - 3 \cdot x^2 = 0 \cdot x^2 \).
3. Упростим: \( 1 + 2x - 3x^2 = 0 \).
4. Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \( -3x^2 + 2x + 1 = 0 \).
5. Для удобства умножим на -1: \( 3x^2 - 2x - 1 = 0 \).
6. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \).
7. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
8. Найдём корни по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]
9. Проверим, не равны ли корни нулю (так как \( x \) находится в знаменателе). Оба корня не равны нулю.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -1/3.