1) Решите уравнение 2 cos²x+√2 cosx-2=0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]. Решение. Ответ:

Решение:

1. Данное уравнение является квадратным относительно \( \cos x \). Обозначим \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид: \( 2y^2 + \sqrt{2}y - 2 = 0 \).
2. Решим квадратное уравнение относительно \( y \):
   \( D = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 2 + 16 = 18 \)
   \( \sqrt{D} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
   \( y_1 = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   \( y_2 = \frac{-\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2} \)
3. Вернёмся к замене \( y = \cos x \):
   \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) или \( \cos x = -\sqrt{2} \).
4. Уравнение \( \cos x = -\sqrt{2} \) не имеет решений, так как \( -1 \le \cos x \le 1 \), а \( -\sqrt{2} \approx -1.414 \).
5. Решим уравнение \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Общий вид решений: \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
6. Теперь найдём корни, принадлежащие отрезку \( [2\pi; \frac{7\pi}{2}] \).
7. Рассмотрим \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \):
   При \( k=1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi + 8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \). Проверим, принадлежит ли этот корень отрезку: \( 2\pi = \frac{8\pi}{4} \), \( \frac{7\pi}{2} = \frac{14\pi}{4} \). Так как \( \frac{8\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4} \le \frac{14\pi}{4} \), то \( x = \frac{9\pi}{4} \) принадлежит отрезку.
8. Рассмотрим \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \):
   При \( k=1 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{-\pi + 8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \). Этот корень меньше \( 2\pi \), поэтому не принадлежит отрезку.
9. При \( k=2 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{-\pi + 16\pi}{4} = \frac{15\pi}{4} \). Проверим, принадлежит ли этот корень отрезку: \( \frac{14\pi}{4} \le \frac{15\pi}{4} \). Так как \( \frac{15\pi}{4} > \frac{14\pi}{4} \), то \( x = \frac{15\pi}{4} \) не принадлежит отрезку.
10. Среди найденных корней только \( x = \frac{9\pi}{4} \) принадлежит заданному отрезку.

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \); \( x = \frac{9\pi}{4} \) (на отрезке).