1) Решите уравнение √2 tg x = 2sin x.

Решение:

1. Данное уравнение: \( \sqrt{2} \text{tg } x = 2 \text{sin } x \).
2. Перепишем тангенс как отношение синуса к косинусу: \( \sqrt{2} \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \text{sin } x \).
3. Перенесём всё в одну сторону: \( \sqrt{2} \frac{\sin x}{\cos x} - 2 \text{sin } x = 0 \).
4. Вынесем \( \text{sin } x \) за скобки: \( \text{sin } x \left( \frac{\sqrt{2}}{\cos x} - 2 \right) = 0 \).
5. Это уравнение равносильно двум случаям:
• Случай 1: \( \text{sin } x = 0 \). Это означает \( x = \pi n \), где \( n \) — целое число.
• Случай 2: \( \frac{\sqrt{2}}{\cos x} - 2 = 0 \).
• Отсюда \( \frac{\sqrt{2}}{\cos x} = 2 \), то есть \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Это означает \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = \pi n \) или \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), где \( n, k \) — целые числа.