1) Решите уравнение 2sin^2 x - 3√2 sin x + 2 = 0.

Решение:

Это квадратное уравнение относительно $$\sin x$$. Сделаем замену переменной: пусть $$y = \sin x$$. Тогда уравнение примет вид:

• \[ 2y^2 - 3\sqrt{2}y + 2 = 0 \]

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac = (-3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = (9 \cdot 2) - 16 = 18 - 16 = 2 \]

Найдем корни $$y_1$$ и $$y_2$$:

• \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{4} \]
• \[ y_1 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2} \]
• \[ y_2 = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь вернемся к замене $$y = \sin x$$.

• Случай 1: $$\sin x = \sqrt{2}$$. Поскольку значение синуса не может быть больше 1, этот случай не имеет решений.
• Случай 2: $$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Общее решение этого уравнения:

• \[ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: $$x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$$.